5. Числові характеристики випадкових величин

Числові характеристики у стислій формі виражають істотні особливості розподілу випадкової величини. Основними характеристиками випадкової величини є її математичне сподівання та дисперсія.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х, яка задана своїм рядом розподілу (табл. 1), називається число

.

(1)

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається число

.

(2)

Таким чином, математичне сподівання приблизно дорівнює середньому арифметичному ймовірних значень випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання:

.

Якщо випадкова величина X дискретна та задана своїм рядом розподілу, то

.

(3)

Якщо випадкова величина X неперервна та задана на відрізку [а, b], то

.

(4)

Дисперсія характеризує міру розсіювання значень випадкової величини Х відносно свого математичного сподівання.

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності величини X. Тому для цілей аналізу часто використовують величину , яка називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Її розмірність збігається з розмірністю величини Х.

6. Вибірковий метод в статистиці

Збір інформації про технологічний процес і вироблену продукцію здійснюється шляхом статистичного спостереження.

Виділяють два різновиди статистичного спостереження: суцільне та несуцільне. Суцільне спостереження передбачає дослідження ознак усіх об’єктів загальної сукупності, що вивчається. Цей метод дослідження пов'язаний із значними трудовими і матеріальними витратами. При несуцільному спостереженні досліджують ознаки лише частини загальної сукупності та, виходячи з результатів дослідження, роблять висновки про властивості усієї сукупності в цілому.

У статистичній практиці найпоширенішим є вибіркове спостереження.

Вибіркове спостереження – це таке несуцільне спостереження, при якому відбір об’єктів, що підлягають обстеженню, здійснюється у випадковому порядку, відібрана частина вивчається, а результати розповсюджуються на всю загальну сукупність об’єктів. Спостереження організовується таким чином, що відібрана частина об’єктів репрезен­тує в зменшеному масштабі усю загальну сукупність.

Сукупність об’єктів, з якої здійснюється відбір, називається генеральною сукупністю, і всі її узагальнені показники називаються генеральними.

Сукупність відібраних одиниць іменують вибірковою сукупністю, і всі її узагальнені показники називають вибірковими.

Вибіркове спостереження має бути організоване й прове­дено у відповідності з науковими принципами теорії вибіркового методу. Основними з таких принципів є принцип забезпечення випадковості відбору об’єктів та принцип достатності їхньої кількості. Дотримання цих принципів дозволяє отримати об'єктивну гарантію репре­зентативності вибіркової сукупності.

Задача вибіркового спостереження полягає в тому, щоб на основі характеристик вибіркової сукупності отримати достовірні судження про характеристики генеральної сукупності.

Прояв досліджуваної ознаки в генеральній сукупності є випадковою величиною (так, наприклад, випадковою величиною є ширина полів в друкарському виданні). Тому основними характеристиками генеральної сукупності є генеральне математичне сподівання та генеральна дисперсія досліджуваної ознаки.

Приблизні значення генерального математичного сподівання та генеральної дисперсії можна визначити за їхніми вибірковими аналогами.

Для математичного сподівання випадкової величини M(X) вибірковим аналогом є середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини:

, ,

(5)

де: x_i – значення випадкової величини, спостережуване в i-тому досліді (тобто результат i-го вимірювання ознаки),

n – кількість дослідів (вимірювань).

Цю характеристику називають вибірковим середнім випадкової величини.

Згідно з законом великих чисел, при необмеженому збільшенні кількості дослідів значення вибіркового середнього наближається до значення генерального математичного сподівання. При обмеженій кількості дослідів вибіркове середнє є випадковою величиною, яка, проте, пов'язана з генеральним математичним сподіванням і може дати про нього деяке уявлення.

Вибіркові аналоги існують для всіх число­вих характеристик випадкових величин. Так, вибірковим аналогом генеральної дисперсії є вибіркова дисперсія S², яка розраховується за формулою:

,

(6)

де: – вибіркове середнє,

x_i – значення випадкової величини, спостережуване в i-тому досліді (результат i-го вимірювання ознаки),

n – кількість дослідів (вимірювань).

Показник S, який дорівнює кореню з вибіркової дисперсії, називається вибірковим середньоквадратичним відхиленням.