Уравнение неразрывности

Рассмотрим трубку тока с сечениями dS₁ и dS₂ (рис.6.1) скорости жидкости в этих сечениях обозначим через υ₁ и υ₂, а плотность жидкости – соответственно ρ₁ и ρ₂.

Масса жидкости , поступившей через сечение dS₁ за единицу времени, будет равна массе жидкости , которая вытекла за единицу времени через сечение dS_2.:

,

где dm_сек – секундный массовый расход жидкости вдоль струи. Так как сечения были выбраны произвольно, то :

. (6.2)

Соотношение (6.2) называется уравнением неразрывности.

Рис.6.1

В случае несжимаемой жидкости плотность одинакова во всех сечениях трубки тока и уравнение неразрывности имеет вид:

Если плотность жидкости и скорость постоянны по всему поперечному сечению S, то

. (6.3)

Уравнение Бернулли

Т ечение идеальной несжимаемой жидкости в пределах трубки тока описывается уравнением Бернулли.

Выделим объем жидкости, которая в некоторый момент времени t заполняет участок, ограниченный сечениями S₁ и S₂ (рис. 6.2). Давление в сечении S₁ равно P₁ , а в сечении S₂ - P₂ .

Если течение стационарное, то объем жидкости к моменту времени t+Δt переместится и будет заключен между сечениями и . Промежуток Δt выберем настолько малым, что скорости течения жидкости в пределах объема трубки тока, ограниченного сечениями S₁ и , а также S₂ и ,_, можно считать постоянными.

Определим изменение полной механической энергии за малый промежуток времени t. За это время масса жидкости, заключенная между сечениями S₁ и втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями S₂ и вытекает из нее. Для идеальной жидкости изменение полной энергии W равно разности полных энергий вытекающей и втекающей масс, или

W = (T + U)₂ – (T + U)_1 , (6.4)

где T – кинетическая энергия выделенного объема жидкости, U - потенциальная энергия этого объема. Втекающая в выделенный объем и вытекающая из этого объема массы жидкости m равны, поэтому формулу (6.4) можно переписать через массу:

, (6.4)

Где υ₂ и υ₁ – скорости объема в сечениях S₂ и S₁ , h₁ и h₂ – высота сечений S₁ и S₂ относительно некоторого уровня, соответственно. Изменение полной механической энергии равно работе A внешних сил по перемещению массы m

W = A.

На данный объем жидкости действуют силы F₁ = p₁ S₁ в сечении S₁ , F₂ = p₂ S₂ в сечении S₂  и силы давления, приложенные к боковой поверхности трубки тока.

Сила F₁ совершает работу A₁ по перемещению втекающей массы на пути .

При перемещении вытекающей массы совершается работа A₂ против силы F₂ на пути ₂ t.

Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности трубки тока, равна нулю, так как эти силы направлены перпендикулярно к направлению течения жидкости.

Поэтому: A₁=F₁ ₁ t, A₂= – F₂ ₂ t. Знак минус означает, что сила F₂  направлена против движения жидкости. Искомая работа A = A₁ + A₂ = F₁ ₁ t – F₂ ₂ t. Используя выражения для силы через давления, получим

A = p₁ S₁ ₁ t – p₂ S₂ ₂ t,

где S₁ ₁ t = S₂ ₂ t = V - объем рассматриваемых масс. Поэтому

A = p₁ V – p₂ V. (6.5)

Приравнивая (6.4) и (6.5), получим

.

Выразив Δm через плотность  (Δm = V), получим

.

Поскольку сечения S₁ и S₂ выбраны произвольно, то в общем случае можно записать:

²/2 + gh + p = const. (6.6)

Соотношение (6.6) представляет собой уравнение Бернулли. Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли имеет вид

²/2 + p = const. (6.7)

При отсутствии течения (υ=0) из (6.7)получим p = const. Это давление в выражениях (6.6) и (6.7) p называют статическим.

Величина ²/2 - динамическое давление,

gh ‑ гидростатическое давление.

Можно показать, что в случае установившегося течения константа в пра­вой части уравнения (6.6) одина­кова для всех трубок тока, т. е. что уравнение Бернулли справедливо для всего потока. ограниченного стенками трубы.

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода (или уменьшения сечения трубки тока) скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

Пример 6.1. Применение уравнения Бернулли для расчета скорости истечения жидкости сквозь малое отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим сосуд, заполненный идеальной жидкостью. В боковой стенке его на глубине Н ниже уровня жидкости проделано малое отверстие (рис. 6.3).

Для двух сечений 1‑1 и 2‑2 запишем уравнение Бернулли

.

В этой формуле p₁ = p₂ ‑ атмосферное давление. Тогда

. (6.8)

Из уравнения неразрывности

,

где S₁ и S₂ ‑ площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Поскольку S₁ >> S₂ , то членом в левой части уравнения (6.8) можно пренебречь. Тогда

и . (6.9)

Полученное уравнение имеет название формулы Торричелли. Из нее видно, что частицы жидкости, выходя из отверстия, имеют такую же скорость, какую они приобрели бы, свободно падая с высоты Н.