ЛЕКЦИЯ 6

5.3 Кинетическая энергия твердого тела

Получим выражения для кинетической энергии твердого тела, которое совершает поступательное движение, вращение во­круг неподвижной оси и плоское движение

5.3.1 Кинетическая энергия твердого тела при поступательном

движении

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, на которые это тело разбито:

. (5.16)

Если тело движется поступательно, то скорость каждой его точки _i одинакова и равна скорости движения центра масс, _С. Тогда формула (5.16) для кинетической энергии поступательного движения примет вид:

, (5.17)

где - масса тела.

5.3.2 Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна _I = r_i , где r_i  расстояние от этой точки до оси вращения. Поэтому, из (4.17) следует:

, (5.18)

где I_z  момент инерции тела относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональна квадрату угловой скорости.

5.3.3 Работа внешних сил при вращении твердого тела во­круг неподвижной оси

Работа всех внешних сил, действующих на данное тело равна приращению только кинетической энер­гии тела , δA =ΔT или, согласно (5.18)

,

где ω – угловая скорость. Согласно (5.13) . Подставив это выраже­ние в последнее уравнение для δA и учитывая, что , получим

. (5.19)

Если M_z и dφ имеют одинаковые знаки, то δA >0; если же их знаки противоположны, то δA<0.

Работа внешних сил при повороте твердого тела на конечный угол ср равна

. (5.20)

Если M_z=const, то последнее выражение упроща­ется: A=M_zφ. Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента M_z этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент M_z=0, то работы они не производят.

Из (5.19) следует выражение для мощности внешних сил , вызывающих вращение вокруг неподвижной оси. Учитывая, что , получим:

. (5.21)

Таким образом, мощность внешних сил, вызывающих вращение твердого тела вокруг неподвижной оси определяется моментом M_z этих сил относительно данной оси и угловой скоростью вращения.

5.3.4 Кинетическая энергия при поступательно-вращательном движении

Можно показать, что кинетическая энергия при поступательно-вращательном (плоском) движении

, (5.22)

где 1с - момент инерции тела относительно оси враще­ния, проходящей через его центр масс,ω - угловая ско­рость тела, m - его масса, υ_С – скорость движения центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движе­нии складывается из энергии вращения в системе центра масс и энергии движения центра масс.

Пример 5.3 Найти кинетическую энергию однородного цилиндра с массой m, катящегося без скольжения с постоянной скоростью υ.

Используем формулу (5.22), в которую подставим I_C=mR²/2 – момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс, и υ_С = υ = ωR:

.

Гидродинамика

Течение жидкостей и газов. Ламинарный и турбулентный

режимы течений

Раздел физики, в котором рассматривают законы равновесия и движения жидких и газообразных сред, а также их взаимодействия с твердыми телами, называют гидроаэромеханикой.

Жидкие и газообразные тела не обладают упругостью формы – они легко принимают форму того сосуда, в котором находятся.

Внешнее давление, производимое на жидкость или газ, передается ими во все стороны равномерно (закон Паскаля).

Наглядно течение жидкости изображается линиями тока, которые проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с векторами скоростей жидкости в соот­ветствующих точках пространства.

Поверхность, которая образована линиями тока, проведенными через все точки малого замкнутого контура, называют трубкой тока. Часть жидкости, ограниченную трубкой тока, называют струей.

В реальных жидкостях между отдельными слоями потока действует внутреннее (вязкое) трение. Причиной вну­треннего трения является перенос молекулами импульса из одного слоя в другой.

Жидкость, в которой отсутствует внутреннее трение, называют идеальной жидкостью.

Наблюдается два вида течения жидкости (или газа) - ламинарное и турбулентное.

При ламинарном (слоистом) течении каждый выделенный слой скользит относительно соседних слоев, не перемешиваясь с ними. Ламинарное течение является стационарным и характеризуется постоянным во времени распределением поля скоростей по объему жидкости.

Турбулентное (вихревое) течение жидкости возникает когда вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости. При этом режиме течения частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, перпендикулярные течению.

Установлено, что характер течения зависит от значения числа Рейнольдса:

Re = l/, (6.1)

где  плотность жидкости (газа),  средняя по сечению трубы скорость жидкости, l  характерный размер канала (например, диаметр трубы),  коэффициент динамической вязкости. Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при Re> Re_кр. Например, значение критического числа Re_кр для гладких цилиндрических труб составляет примерно 2300.