4.4 Модель Шелла

Нехай норма нагромадження - змінна в часі s=s(t). Тоді фондоозброєність буде також змінною. Для безперервного часу маємо:

, (4.17)

Вираження (4.17) узагальнює формулу (4.8). При постійній у часі фондоозброєності (цей випадок розглянутий у розділі 4.1) . Тоді з (4.17) одержуємо (4.8).

Формулювання завдання визначення оптимальної норми нагромадження, змінної в часі.

Нехай плановий обрій (відрізок часу, протягом якого розглядається функціонування економічної системи) дорівнює Т.

Заданий початковий стан k(0) і обмеження на кінцевий стан

Необхідно знайти змінну в часі норму нагромадження , щоб вона доставляла максимум інтегральному фонду споживання

, (4.18)

, (4.19)

де

,

множник, що дисконтує. Він призначений для приведення ефекту до початкового моменту часу: порівняння значень однакових обсягів фонду споживання в часі.

К. Шелл запропонував рішення завдання (4.18), (4.19) за допомогою принципу максимуму. На мал.4.5 представлена зміна в часі норми нагромадження й фондоозброєності

На мал.4.5 верхня крива зображує зміну в часі фондоозброєності , нижня крива - зміна в часі норми нагромадження - рішення завдання (4.18), (4.19).

Розглянемо зміну функцій і на трьох відрізках часу. На першому відрізку змінюється від свого початкового значення до - рішення рівняння

. (4.20)

Рис. 4.5 Магістральна траєкторія моделі Шелла

При (4.20) збігається з моделлю Солоу (4.14).

На першому відрізку , тобто дорівнює своєму максимальному значенню.

На другому відрізку , , де - оптимальна норма нагромадження в моделі Солоу (рішення завдання (4.12)). Ця величина не перевищує 1.

На третьому відрізку збільшується від до заданої скінченної величини , при цьому .

Дискретний аналог моделі Шелла

Розглянемо дискретний аналог моделі (4.18), (4.19). Він має вигляд:

(4.21)

де , - рішення наступного різницевого рівняння:

. (4.7)

Початкове значення фондоозброєності задане, кінцеве , де задано.

Рішення завдання (4.21), (4.7) простіше, ніж (4.18), (4.19) і може бути отримане за допомогою процесора Excel.

ЗАВДАННЯ №1

Рішення різницевого рівняння 1-го порядку на комп'ютері.

Ціль роботи: Освоєння рішення лінійних різницевих рівнянь на персональному комп'ютері.

Є вихідне різницеве рівняння

x_t+ax_t-1=u_t, (1)

Необхідно знайти рішення рівняння X_t при U_t=1 і U_t=2t+1 t=0,1,2,3…... Початкова умова X₀=0. Параметр а наведений у таблиці 1.

Таблиця 1

Варіанти	a
1	0,2
2	-0,2
3	0,5
4	-0,5
5	0,1
6	-0,1
7	0,3
8	-0,3
9	0,4
10	-0,4
11	0,6
12	-0,6
13	0,7
14	-0,7
15	0,8
16	-0,8
17	0,9
18	-0,9
19	0,25
20	-0,25
21	0,16
22	-0,16
23	0,34
24	-0,34
	Продовження таблиці1
Варіанти	a
25	0,46
26	-0,46
27	0,28
28	-0,28
29	0,37
30	-0,37
31	0,15
32	-0,15
33	0,75
34	-0,75
35	0,55
36	-0,55
37	0,82
38	-0,82
39	0,29
40	-0,29

ЗАВДАННЯ №2

Проста модель макроекономічної динаміки.

Ціль роботи: Вивчення поводження економічної системи при різних законах зміни споживання.

Є вихідне різницеве рівняння

, (1)

де C_t - сума споживання, В - коефіцієнт капіталоємкості приросту доходу, - приростна капиталовіддача.

Економіка вважається закритої, імпорт і експорт відсутній. Державні видатки не виділяються. Передбачається, що ріст доходу пропорційний інвестиціям

,

де I_t - сума інвестицій у момент часу t.

Необхідно розглянути поводження економічної системи, що випливає з рішення рівняння (1), якщо ,

Визначити стабільність системи й побудувати графіки для Y, З, I. Таблиця 1

№ варіанта	Споживання З0	Дохід Y0	Приростна капиталовіддача	Постійний темп приросту 
1 2	0	1350	-1	0,06
	12	1100	0,04	0,06
3 4	5	4	-1	0,05
	12	1000	0,04	0,05
5 6	10	8	1	0,06
	12	1200	0,06	0,05
7	5	4	-0,5	0,06
			Продовження таблиці1
8	14	1400	0,04	0,06
9 10	0	1350	-10	0,05
	14	1100	0,04	0,06
11 12	10	22	0,5	0,06
	12	1500	0,04	0,05
13 14	5	7	3	0,05
	12	1100	0,04	0,06
15 16	5	7	2	0,06
	10	1200	0,06	0,05
17 18	0	1200	-3	0,05
	12	1700	0,04	0,06
19 20	5	6	1	0,06
	10	1400	0,06	0,05
21 22	5	4	-1	0,05
	12	1500	0,04	0,06
23 24	0	1350	-3	0,06
	14	1100	0,04	0,06
25 26	0	1350	1	0,05
	10	1000	0,04	0,05
27 28	5	6	-1	0,06
	12	1200	0,06	0,05
29 30	10	22	1	0,06
	14	1400	0,04	0,06
31 32	5	4	-0,5	0,05
	14	1100	0,04	0,06
33 34	0	1350	-10	0,05
	12	1000	0,04	0,05
35 36	10	8	0,5	0,06
	12	1100	0,04	0,06
37 38	5	7	1	0,05
	12	1400	0,06	0,05
39 40	0	1200	-3	0,06
	10	1700	0,04	0,06

ЗАВДАННЯ №3

Односекторна модель економічної динаміки (дискретний аналог моделі Солоу).

Тема: Односекторна модель економічної динаміки (дискретний аналог моделі Солоу).

Ціль роботи: Знаходження рішення моделі Солоу – фондоозброєності праці в часі.

Модель Солоу має вигляд

(1)

Функція Кобба -дугласа .