3.2. Крутящий момент, мощность и кпд гидромашин
Теоретический крутящий момент
Рассмотрим упрощенную схему аксиально-поршневой машины (рис. 3.3), под поршни которой подается рабочая жидкость под давлением от источника.
Рис. 3.3. Схема приложения нагрузок
Проведем рассуждения применительно к одному поршню, например, 2-му, а затем сделаем выводы и обобщения, распространив их вначале на многопоршневые машины любой разновидности и, наконец, на все гидравлические машины вращательного движения.
Очевидно, при подаче жидкости под давлением pн в полость цилиндра поршень, находящийся в этом цилиндре будет развивать силу:
,
где dn – диаметр поршня (цилиндра), pн – давление в полости нагнетания.
Эта сила действует по оси поршня и в
точке его касания с опорным элементом
(косой шайбой) раскладывается на: N
– нормальную к плоскости опорного
элемента силу, которая из построения,
очевидно, будет выражаться зависимостью:
,
и Т – перпендикулярную к оси поршня
силу, равную
.
R
ρ
β
T'’
T
рис. 3.4. Схема приложения нагрузок
Сила N нагружает шайбу и ее опоры,
т.е. является определяющей (конечно, в
сумме от других поршней) при расчете на
прочность шайбы и подшипников. Сила Т
создает крутящий момент относительно
оси вращения вала машины:
,
где
–
радиус-вектор, проведенный от оси до
точки приложения силы (рис. 3.4). Плечо
приложения силы
,
где R const –
текущее значение радиуса касания
(контакта) поршня с шайбой.
Примем допущение, что R
Rбл = const
(Rбл – радиус блока). Тогда
текущее значение
можно представить в виде следующей
зависимости:
,
где
– ход поршня;
– площадь поршня диаметром
.
То есть при данном значении
и сделанном допущении, что R
Rбл,
развиваемый одним поршнем момент,
подчиняется синусоидальному закону
(закономерность практически та же, что
и для подачи). Таким образом, если
использовать тот же прием получения
выражения для суммарного момента,
что и для суммарной подачи, то
применительно к многопоршневой
машине получим пульсирующее значение
текущего момента, т.е. Мкр
пульсирует даже при
.
Поскольку же в действительности давление
pн пульсирует вследствие
пульсации подачи, то получаются очень
сложные законы различных колебательных
явлений (одна из трудностей анализа
динамики гидроприводов).
Среднее значение момента
за один оборот составит
.
При выводе формулы суммарного крутящего момента следует учесть, что в течение одного оборота каждый поршень создает момент и что в полости всасывания, как правило, имеет место избыточное давление pсл, которое также создает крутящий момент, действующий навстречу моменту, развиваемому поршнями, находящимися на стороне нагнетания.
То есть в общем случае:
. (3.5)
где p = pн – pсл.
Необходимо отметить, что зависимость (3.5) справедлива для всех типов статических машин вращательного движения.
Мощность насоса, гидромотора и гидропривода
определяется по формуле:
,
где ω – угловая скорость вала, М –
крутящий момент. Таким образом, для
гидравлической машины (в данном случае
насоса) вправе записать:
;
или
. (3.6)
В инженерной практике чаще всего мощность принято выражать в кВт (102 кГм/с) или л.с. (75 кГм/с), а p – в кГ/см2 и Q – в л/мин. Тогда
,
кВт;
,
л.с. (3.7)
Эти зависимости справедливы для всех типов насосов и гидродвигателей статического типа и относятся также к основным при проведении тех или иных инженерных расчетах гидропривода и выбора их элементов.
КПД
В гидравлических передачах часть энергии, подводимой к входному валу, теряется в процессе работы на преодоление различных внутренних сопротивлений и превращается в тепло.
В насосах, гидродвигателях, распределительно-регулирующих и вспомогательных устройствах гидроприводов имеют место три вида потерь:
1. Гидравлические, затрачиваемые на преодоление сил трения между частичками движущейся жидкости и на преодоление сил сопротивления жидкости движению в ней элементов машины.
2. Механические, затрачиваемые на преодоление сил трения между сопряженными и перемещающимися относительно друг друга деталями насоса, гидродвигателя или другого элемента.
3. Объемные, к которым относятся:
а) утечки рабочей жидкости из полости нагнетания в полость всасывания или корпус через неустранимые щели между подвижно-сопряженными деталями машины;
б) сжимаемость жидкости под действием давления, вызывающая уменьшение в определенный промежуток времени полезного объема жидкости, совершающей работу;
в) упругие деформации соединительных трубопроводов и иных каналов, приводящие в итоге в определенный промежуток времени также к уменьшению участвующего в совершении работы объема жидкости.
Говоря о гидравлических и механических потерях, следует заметить, что при проведении эксперимента «разделить» эти потери невозможно, поэтому чаще всего их объединяют и называют гидромеханическими.
Говоря об объемных потерях, необходимо заметить, что при рассмотрении статических характеристик (характеристик при строго установившихся режимах работы машины) имеют смысл лишь утечки рабочей жидкости. В инженерной практике принято сжимаемость жидкости и упругие деформации соединительных каналов учитывать при изучении динамики гидропривода.
Гидромеханическим КПД называется относительная величина, учитывающая гидромеханические потери внутри соответствующего гидравлического агрегата или устройства и определяемая в общем случае зависимостью:
;
, (3.8)
где pэф –
эффективное давление, т.е. та часть
рабочего (манометрического) давления,
которая идет на совершение полезной
работы (определяется из эксперимента);
p0 – теоретическое
давление, т.е. то, которое мог бы создать
насос при данном потребляемом им моменте,
если бы не было в нем потерь (часто под
давлениями p0 и
pэф подразумевается
перепад давлений с учетом давления в
области слива Δp0
и Δpэф);
– момент гидромеханического сопротивления
прямо пропорционален частоте вращения
вала машины и вязкости жидкости.
Как видно из выражения (3.8), гидромеханический
КПД обратно пропорционален частоте
вращения вала машины n1
(скорости течения жидкости) и вязкости
жидкости , прямо
пропорционален давлению в гидросистеме
,
т.е. можно записать функциональную
зависимость
.
Часто индекс «ноль» в при записи КПД будем опускать, понимая, что речь идет о теоретическом давлении.
Рис. 3.5. Схема гидропривода
На основании последних выражений можно записать
;
;
,
где
– момент, передаваемый насосу приводным
электродвигателем.
Для гидропривода в целом гидромеханический
КПД
может быть выражено через p0
и pэф (для простоты
выведем выражение
для случая
,
при этом учтем
при
):
,
,
откуда
;
и
,
или при
будем иметь
.
Таким образом, гидромеханический КПД гидропривода равен произведению гидромеханических КПД насоса и гидромотора, так как «по пути» часть давления, создающего крутящий момент на валу гидромотора, теряется в насосе и гидромоторе (а также в других гидравлических элементах).
Объемный КПД насоса, ГД или гидропривода учитывает лишь утечки жидкости из полости высокого давления в полость низкого и выражается, например, для насоса, отношением:
,
(3.9)
где
– объемные потери, которые прямо
пропорциональны давлению в гидросистеме
и обратно пропорциональны вязкости
жидкости, а – коэффициент
расхода (опытная
величина), S – суммарная площадь
зазоров.
Исходя из выражения (3.9), выражение для объемного КПД насоса можно представить в виде функциональной зависимости:
.
Имеем,
;
.
В гидроприводе
(
),
откуда
.
Таким образом, объемный КПД гидропривода равен произведению объемных КПД насоса и гидромотора, так как «по пути» часть жидкости, приводящей во вращение вал гидромотора, теряется в насосе и гидромоторе.
Также можно записать
;
,
где
– «потерянная» частота вращения в
результате утечек в гидромоторе,
– частота вращения без нагрузки.
Если считать, что теоретическая частота
вращения выходного вала гидропривода
(вала гидромотора) определяется из
выражения
(а не из
),
то объемный КПД для гидропривода можно
записать следующим образом:
;
;
,
где
– теоретическая частота вращения вала
гидропривода (вала гидромотора) без
учета утечек в насосе и гидромоторе;
– действительная частота вращения
выходного вала гидропривода с учетом
«потери» частоты вращения вследствие
утечек в насосе
и гидромоторе
.
Общий КПД учитывает как объемные, так и гидромеханические потери в гидросистеме. Понятие об общем КПД гидропривода аналогично понятию о КПД любой другой передачи, т.е. выражается отношением оправдываемой ГД мощности к мощности, потребляемой насосом:
. (3.10)
Для гидропривода в целом КПД, учитывая
;
;
,
будет равен:
.
(3.11)
Решим рассмотренную выше задачу, при
этом будем учитывать
и
,
т.е. определим:
;
задано (M2, n2,
q1, q2).
1. Частота вращения n1:
;
(так как,
);
;
.
2. Частота вращения n20:
;
.
3. Крутящий момент M10
= Mэд и M20:
;
;
;
;
;
.
4. Мощность N10 и
N1, N20
и N2:
;
;
;
;
;
.
;
и
,
.