Математичний апарат цифрової мікросхемотехніки

Теоретичною основою проектування цифрових пристроїв є алгебра логіки. Розробкою основ алгебри логіки зв`язана з іменем Дж.Буля, тому її ще називають Булевою алгеброю. В ній, на відміну від звичайної алгебри, змінні аргументи можуть набувати значення – 0 або 1 (логічного нуля або логічної одиниці). Під час подання цифрових сигналів у додатковій логіці логічному нулеві відповідає низький рівень напруги Uº=U лог.0 , а логічній одиниці – високий рівень U¹=U лог.1

Логічні функції утворюються з логічних змінних, обєднаних знаками логічних операцій. Як і логічні змінні, логічні функції можуть набувати лише значення логічного нуля або логічної одиниці.

Існують три основні логічні операції:

• Логічне додавання ( диз`юнкція )

• Логічне множення ( кон`юнкція )

• Логічне заперечення ( інверсія )

У найпростішому випадку диз`юнкція подається виразом :

Y = x1+x2 = x1 x2

кон`юнкція – виразом Y= x1 ∙x2 = x1 x2

інверсія – виразом Y= x1

В алгебрі логіки існують чотири основні закони:

1. Переставний або комутативний

2. Узгоджувальний або асоціативний

3. Розподільний або дистрибутивний

4. Інверсія або закон Моргана

Ці закони подаємо для логічних операцій – логічного додавання та логічного множення в таблиці 1.

Таблиця №1

№ п/п	Закон	Логічне додавання	Логічне множення
1	Переставний	x1+x2 = x2+ x1	x1∙x2= x2∙ x1
2	Узгоджувальний	x1+(x2 + x3) = = (x1+ x2) + x3	x1∙(x2 ∙x3)= ( x1∙x2)∙ x3
3	Розподільчий	(x1+ x2)∙ x3 = = (x1∙x3)+ (x2 ∙x3)	(x1∙x2)+ x3 = = (x1+x3)∙ (x2 + x3)
4	Інверсії	x 1+x2 = x1∙x2	x1∙x2 =x1+x2
		x1+ x2 = x1∙x2	x1∙x2=x1+x2

Використовуючи основні закони алгебри логіки можна скласти ряд правил, які застосовуються при аналізі складних логічних виразів з метою перетворення цих виразів до більш простого виду.

Додаткові правила алгебри логіки

Таблиця № 2

№п/п	Закон	Логічне додавання	Логічне множення
1	Заперечення	0=1	1=0
2	Подвійне заперечення	( х )=х	( х )= х
3	Незміності	х+0=х	х∙1= х
4	Універсальної і нульової площини	х +1=1	х∙0=0
5	Повторення	х+х=х	х ∙ х = х
6	Додатковості	х+х=1	х∙ х=0

Розглянуті вище правила дозволяють суттєво спростити вирази логічних функцій. Чим менше елементів складає вираз, тим простіше

реалізується для нього логічна схема. Такий процес зменшення

складних логічних функцій в більш прості одержав назву мінімізації логічних функцій.

У процесі проектування цифрових пристроїв і для мінммізації логічних функцій використовують метод безпосередніх перетворень- який полягає у використанні ще таких законів для спрощення аналітичної форми:

Таблиця №3

№п/п	Закон	Логічне додавання	Логічне множення
1	Поглинання	x1+ x1∙ x2 = x1	x1∙ ( x1+ x2 )= x1
2	Склеювання	x1∙ x2+ x1∙ x2= x1	( x1+ x2 )∙( x1+x2) = x1

Відомо також ще кілька співвідношеннь, які дозволяють спрощувати аналітичні вирази :

1. x1+ x1∙ x2= x1+ x2

2. x1∙ x2 + x1∙ x2 = x1∙ x2 ∙( x1+ x2 )

3. x1∙ x2+ x1∙ x3 = x1∙ x2 ∙( x1+ x3)