1.3 Эквивалентность простой учетной ставки и сложной ставки наращения (ds и I )

= (1 + i)ⁿ

i = ; d_s = .

(слайд 6)

1.4 Эквивалентность сложных ставок. i и d (сложной ставки наращения и сложной учетной ставки)

(1 + i)ⁿ =

i = ; d = .

2. Эффективная ставка. В рекламных объявлениях банков и финансовых компаний, направленных на привлечение вкладов, условия начисления процентов могут указываться самым различным образом. Поскольку условия начисления процентов являются одним из основных факторов при выборе банка или финансовой компании для размещения средств, необходимо их сравнивать по некоторому показателю. В качестве такого показателя обычно используется эффективная годовая ставка простых или сложных процентов.

Если вклады принимаются с ежемесячной (ежеквартальной) выплатой процентов без указания на их присоединение к сумме основного вклада, это означает, что используются простые проценты с годовой ставкой: i = ,

(I = Pni), где I – сумма процентов, начисленных на период начисления; Р – сумма вклада; n – длительность периода начисления в годах.

Отношение I к P представляет собой ставку процентов на периоде начисления. Следовательно, эффективная ставка процентов будет равна:

i_э = , (i_п = ), где m - количество периодов начисления, i_п – постоянная сложная ставка.

На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов.

Если на вклады начисляются сложные проценты несколько раз в году, эффективная годовая ставка процентов может быть определена исходя из условия, что полученный доход (сумма процентов) I будет равен доходу, который был бы получен при размещении той же самой суммы Р на тот же срок n по эффективной годовой ставке простых процентов i_э.

I = n i_эP

Доход, получаемый при начислении сложных процентов несколько раз в году, будет равен: ( из формулы I = S – P)

I = P[(1 + i_п)^N – 1]

И эффективная годовая ставка процентов будет определятся формулой

i_э =

Значение ставки процентов на периоде начисления может задаваться непосредственно или определятся на основе заданного значения номинальной годовой ставки процентов.

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке i = j/m. Ставка j называется номинальной. Формула наращения примет вид:

S = P(1 +i)^N = P(1 + j/m)^N , где N = m ´ n – общее количество периодов начисления.

Пример: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 12% годовых (процент капитализируется ежеквартально)

j = 12%; m = 4; i = 12: 4 =3; N = 5´4 = 20 кварталов (n = 5 лет)

S = 1 000 000(1 + 0,03)²⁰ = 1 000 000´1,806111235 = 1 806 111,24 руб

Если периодов начисления несколько, то наращенная сумма будет равна:

S = P(1 + mi)ⁿ , где m – период начисления (срок ссуды), n – количество повторений реинвестирования

Все формулы для определения эквивалента годовой ставки сложных процентов являются формулами расчета эффективной ставки.

(слайд 7)

Определение: эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m (т.е. по номинальной ставке).

Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

Обозначим эффективную ставку через i.

По определению множители наращения по эффективной и номинальной процентной ставках при m-разовом начислении процентов должны быть равны:

(1+i)ⁿ = (1+j/m)^mn,  i =(1+j/m)^m – 1

Пример: Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна 12% при:

а) помесячном начислении процентов (m = 12)

i = (1 + 0,12/12)¹² – 1= 1,01 – 1 = 1,126825 –1 = 0,126825 или 12,6825%

б) поквартальном начислении процентов (m = 4)

i = (1 + 0,12/4)⁴ – 1 = (1 + 0,03)⁴ –1 = 1,1255088 – 1 = 0,1255088 или 12,55088%

в) по полугодиям (m = 2)

i = (1 + 0,12/2)² – 1 = 0,1236 или 12,36

Вывод: чем чаще начисляются проценты, тем выше эффективная ставка. Чем выше эффективная ставка, тем выгоднее сделка для кредитора (при прочих равных условиях).

Как видим при m > 1 эффективная ставка больше номинальной , при m = 1 они равны

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в решении обратной задачи – в определении j (номинальной ставки) по заданным значениям i и m.

j = m(

Пример: Какая должна быть установлена номинальная ставка процентов, обеспечивающая годовую доходность на уровне 10% при начислении процентов в 2;4 и 12 раз в год.

Решение:

m = 2

j = 2( = 0,0976176 или 9,7617%

m = 4 (9,6455%)

m = 12 (9,5689%).

2.1 Эффективная учетная ставка (d). Дисконтирование может производиться не один , а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке j/m. В этом случае

P = S , где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка(d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(слайд 8)

отсюда

В свою очередь .

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда т > 1, меньше номинальной.

Пример: Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке и эффективную учетную ставку.

Решение:

f = 0,15;

m = 4;

mn = 20

Эффективная учетная ставка составит:

Эквивалентность процентных ставок

№ п/п	Вид ставки	Формула эквивалентности
1	iпр и dпр	Срок сделки выражен в годах (n)
		Срок сделки выражен в месяцах (m)
		Срок сделки выражен в днях (временная база для обеих ставок 360 дней)
		Срок сделки выражен в днях (временная база для процентной ставки 365 дней, а для учетной ставки 360 дней)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15