Глава 3. Элементы теории групп §3.1. Понятие алгебраической системы

Определение 3.1.1. Пусть X – непустое множество. Бинарной алгебраической операцией на множестве X называется всякое правило f, по которому каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y  X ставится в соответствие один вполне определенный элемент z из X. Таким образом, функция f : X ²  X, .

Аналогично можно определить n-арную алгебраическую операцию для любого n  N. В дальнейшем будем рассматривать только бинарные алгебраические операции. Обычно для обозначения операций используются знаки , , , ,  и т. п. Воспользуемся первым из обозначений, тогда в определении 3.1.1 z = x  y.

Определение 3.1.2. Если на множестве X задана одна или несколько алгебраических операций, то говорят, что X есть алгебраическая система с данными операциями.

Пример 3.1.1. (N, +), (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (Z/nZ, +, ),  n  N, – алгебраические системы с бинарными операциями сложения и умножения.

Алгебраические системы различают по количеству и свойствам операций.

Определение 3.1.3. Алгебраическая система (X, ) на множестве X с одной алгебраической операцией  называется группоидом. Если у группоида (X, ) операция  ассоциативна: a  (b  c) = (a  b)  c для любых a, b, c  X, то такую алгебраическую систему называют полугруппой. Моноидом (X, ) называют полугруппу с единицей, или нейтральным элементом, т. е. таким элементом e  X, что e  x = x  e = x для каждого x  X.

Из определения нейтрального элемента следует его единственность в моноиде: если e₁ и e₂ – нейтральные элементы, то e₁ = e₁  e₂ = e₂.

Пример 3.1.2.

1. (Z, –) – группоид, но не полугруппа, поскольку операция вычитания не-ассоциативна: (5 – 2) – 1 = 3 – 1 = 2, а 5 – (2 – 1) = 5 – 1 = 4.

2. (N, +) – полугруппа, но не моноид, поскольку в N нет нейтрального элемента относительно сложения.

3. (Z, ), (Z/nZ, ),  n  N, – моноиды.

Определение 3.1.4. Моноид (X, ), у которого каждый элемент обратим, т. е. для всякого x  X существует обратный элемент y  X, такой, что x  y = = y  x = e (тогда пишут y =  ), называется группой.

Из ассоциативности операции  и определения 3.1.4 следует, что обратный элемент в группе (X, ) единственный для каждого x  X: пусть y₁ и y₂ – обратные элементы для х, тогда

.