3.4.1. Общий подход к построению уравнения регрессии на примере линейной модели
Рассмотрим решение задачи на следующем примере. Пусть у – объем реализации продукции фирмы, торгующей подержанными автомобилями, за шесть недель ее работы, а х – моменты времени в неделях. Значения этих величин приведены на рис. 3.14. Необходимо построить линейную модель у = kх + b, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения. Параметры k и b подбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми значениями величины у и ее значениями, определенными по линейной модели, т. е. минимизировать
где n — число наблюдений (в данном случае n = 6).
Для решения этой задачи отведем под переменные k и b ячейки D3 и ЕЗ, соответственно. В ячейку С3 введем формулу, отражающую выбранный вид зависимости, {=$D$3*A2+$E$3}. Затем скопируем ее до ячейки С7. В ячейку D6 введем минимизируемую функцию =СУММКВРАЗН(В2:В7;С2:С7)}. В диалоговом окне Поиск решения необходимо установить переключатель в положение Минимальному значению, в качестве целевой указать ячейку D6, а для изменяемых ячеек – диапазон ячеек D3:E3. Отметим, что на переменные k и b ограничения не налагаются. В результате вычислений средство поиска решений найдет следующие значения коэффициентов: k = 1,88571 и b = 5,400.
Рис. 3.14. Построение линейной модели с помощью средства Поиск решения
3.4.2. Функции рабочего листа для уравнения линейной регрессии
Параметры k и Ь линейной модели у = kх + b из предыдущего раздела можно определить с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК.
Функция наклон определяет угловой коэффициент линейного тренда, а функция отрезок –точку пересечения линии линейного тренда с осью ординат. Параметры этих функций – массивы значений y и x. На рисунке 3.14. в ячейке D2 и Е2 были введены соответствующие функции: {=НАКЛОН (В2:В7;А2:А7)}, {=ОТРЕЗОК (В2:В7;А2:А7)}. Результаты вычисления этих коэффициентов совпадают с результатами предыдущего способа решения задачи.
Коэффициенты k и Ь можно найти и другим способом. Для этого необходимо построить точечный график по диапазону ячеек А2:В7 и выделить точки графика двойным щелчком. Далее при вызове правой кнопкой контекстного меню в открывшемся окне выбрать команду Линии тренда (рис. 3.15).
Рис. 3.15. Начало построения линии тренда
В диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип в группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) нужно выбрать параметр Линейная (рис. 3.16), а на вкладке Параметры установить флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R-Z) (т. е. вывести на диаграмму значение квадрата коэффициента корреляции) (рис. 3.17).
Рис. 3.16. Вкладка Тип диалогового окна Линия тренда
Рис. 3.17. Вкладка Параметры диалогового окна Линия тренда
Рис. 3.18. График линии тренда
По коэффициенту корреляции можно судить о правомерности использования линейного уравнения регрессии. Если он лежит в диапазоне от 0,9 до 1, то данную зависимость можно использовать для предсказания результата. Чем ближе к единице коэффициент корреляции, тем более обоснованно это указывает на линейную зависимость между наблюдаемыми величинами. Если коэффициент корреляции близок к -1, то это говорит об обратной зависимости между наблюдаемыми величинами.
Результат выполнения команды Линии тренда приведен на рис. 3.18. Как видно из рисунка, квадрат коэффициента корреляции равен 0,9723, следовательно, линейная модель может быть использована для предсказания результатов.
Однако значение у в точках, не являющихся узлами таблицы, можно вычислить и без предварительного определения коэффициентов линейной модели с помощью функции ПРЕДСКАЗ. В качестве параметров передается: адрес ячейки, для которой предсказывается значение, массивы значений y и x. Аналогом данной функции для многофакторной модели является функция тенденция.
Многофакторная линейная модель регрессии имеет вид у = т1х1 + ... + тnхn + b. Массив коэффициентов { тn, тn-1, …, т1, b } уравнения может быть определен с помощью функции ЛИНЕЙН.