VI. Применение доверительных интервалов при проведении самооценки смк Оценка суммы элементов генеральной совокупности

S = .

6.1. При подведении итогов работы кафедр вуза за истекший учебный год оценивается их деятельность по 45 критериям качества (N =45). В ходе проверки (внешнего аудита) одной из кафедр по 10 критериям (n = 10) были получены следующие результаты:

- средняя сумма баллов по 10 критериям =65,7;

- стандартное отклонение по 10 критериям S = 7,5.

Необходимо построить 95% доверительный интервал, содержащий сумму баллов, которую кафедра может получить при ее оценке по всем 45 критериям.

Оценка разности

6.2. По результатам проверки бухгалтерии необходимо построить 95%-й доверительный интервал, содержащий полную разность между фактическими суммами, указанными в накладных, и суммами, занесенными в информационную систему. В выборку, состоящую из 100 записей, входят 12 накладных, не соответствующих действительности. Эти разности, выраженные в рублях, приведены в табл. 3

Таблица 3

9,3

7,47

17,32

8,30

5,21

10,80

6,22

5,63

4,97

7,43

2,99

4,63

В остальных 88 накладных ошибок нет, следовательно, их разности равны нулю.

1. Необходимо опрделить границы доверительного интервала, содержащего полную разность для всей генеральной совокупности, состоящей из 5000 накладных, вычисляют по формуле (15):

Решение.

Средняя выборочная разность и стандартное отклонение разностей S_R соответственно равны:

;

.

1797,09 ≤ ∆SR_i ≤ 7202,91.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. В настоящее время работодатели более внимательно начали относиться к изучению резюме кандидатов, претендующих за вакантные должности. В результате выяснилось, что многие кандидаты искажают сведения о себе. Исследование, проведенное компанией «Анализ и консалтинг», выявило неточности в 45-и проверенных резюме.

1. Допустим, что выборка состояла из 100 резюме. Постройте 95%-й доверительный интервал для доли резюме, содержащих неточности.

2. Можно ли на основании решения задачи 1 утверждать, что половина всех кандидатов допускают неточности, излагая сведения о себе?

3. Допустим, что выборка состояла из 200 резюме. Постройте 95%-й доверительный интервал для доли резюме, содержащих неточности.

4. Можно ли на основании решения задачи 3 утверждать, что половина всех кандидатов допускают неточности, излагая сведения о себе?

Задание 2. Технолог завода по производству хрустальных изделий решил оценить качество работы работниц конвейера в рабочие дни недели, выполняющих однообразные операции по нанесению рисунка на хрустальные изделия. Ежедневно случайным образом выбиралось 100 единиц готовой продукции, сошедшей с конвейера, и осматривался нанесенный на них рисунок.

В результате ежедневной проверки качества выполненной работы по нанесению рисунка на хрустальные изделия было выявлено следующее количество единиц бракованных изделий:

• 27 - в понедельник;

• 11 – во вторник;

• 8 – в среду;

• 10 – в четверг;

• 21 – в пятницу.

Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю брака в производстве хрустальных изделий для каждого рабочего дня. Какие выводы можно сделать на основе этой информации?

Задание 3. Начальник отдела маркетинга универмага «Престиж» желает оценить количество денег, потраченных женщинами на приобретение косметики за две недели до Нового года.

1. Определите, какой объем выборки следует зафиксировать, чтобы оценить среднее количество денег, потраченных женщинами на приобретение косметики с 95%-м доверительным уровнем и точностью ± 50 руб., если стандартное отклонение равно 180 руб. (по данным предыдущих лет)?

2. Определите, какой объем выборки следует зафиксировать, чтобы оценить среднее количество денег, потраченных женщинами на приобретение косметики с 95%-м доверительным уровнем и точностью ± 5 руб., если стандартное отклонение равно 100 руб. (по данным предыдущих лет)?

3. Дайте объяснения полученным результатам?

Задание 4. Представителя службы коммунального хозяйства одного из северных городов РФ заинтересовали характеристики новой продукции, предназначенной для борьбы с обледенением дорожного покрытия. Производители продукции утверждают, что их порошок позволяет растапливать лед даже при температуре ниже - 17°С. Служба коммунального хозяйства решила организовать сертификационные испытания рекламируемого порошка. Менеджер службы коммунального хозяйства желает определить 95%-й доверительный интервал, содержащий долю продукции, соответствующей рекламным обещаниям, с точностью ±0,05.

1. Сколько упаковок порошка следует проверить?

2. Предположим, что в результате испытаний 50-и образцов порошка 42 пробы соответствуют требованиям.

Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий долю качественной продукции.

3. Стоит ли приобретать новый порошок?

Задание 5. Для создания измерительных модулей, конструктивно совместимых с аппаратурой КАМАК, модули должны размещаться в металлических корпусах дюймового размера. Основным параметром корпуса является расстояние между его боковыми сторонами. Промышленная компания, изготавливающая корпуса для модулей, гарантирует их качество. В таблице приведены данные о результатах измерений 49 корпусов.

8,312	8,343	8,317	8,383	8,348	8,410	8,351	8,373	8,481	8,422
8,476	8,382	8,484	8,403	8,414	8,419	8,385	8,465	8,498	8,447
8,436	8,413	8,489	8,414	8,481	8,415	8,479	8,429	8,458	8,462
8,460	8,444	8,429	8,460	8,412	8,420	8,410	8,405	8,323	8,420
8,396	8,447	8,405	8,439	8,411	8,427	8,420	8,498	8,409

1. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий среднее расстояние между боковыми сторонами корпуса модуля.

Задание 6. Фирма имеет N единиц продукции, хранящейся на складе длительное время. За время хранения реальная (рыночная) стоимость продукции изменилась. С целью оценки реальной стоимости всей продукции, хранящейся на складе, м выборочно проведена оценка стоимости только n единиц продукции.

В результате проведенной работы по изучению выборки были получены следующие данные:

- реальная стоимость каждой единицы продукции Х₁, Х₂,…,Х_n;

- средняя стоимость одного образца продукции ;

- стандартная ошибка выборочной стоимости S.

По имеющимся данным необходимо выполнить:

- найти точечную оценку стоимости всей продукции, хранящейся на складе (SХ);

- с доверительной вероятностью (1-a) вычислить погрешность точечной оценки;

- определить минимальную и максимальную границы интервала распределения реальной стоимости продукции, хранящейся на складе (_min∆SХ, _max∆SХ).

N	n		S	1-a	t	SХ	±∆SХ		min∆SХ	max∆SХ
100	30	55,7	18,5	0,95	2,05
1000	100	1076,4	273,6	0,95	1,98
100	20	2,39	12,62	0,95	2,09
100	20	2,39	2,62	0,95	2,09
500	20	2,39	2,62	0,95	2,09
500	20	2,39	2,62	0,99	2,86
500	20	2,39	2,62	0,9	1,73
500	40	2,39	2,62	0,9	1,68
500	40	2,39	2,62	0,95	2,02
500	40	2,39	2,62	0,99	2,71
65	5	27,27	8,95	0,95	2,78
65	5	17,27	8,95	0,95	2,78
250	50	21	10	0,95	2,01
250	40	55	5	0,95	2,02
250	30	190	15	0,95	2,04
300	75	21	11	0,95	1,99
300	75	32	17	0,95	1,99
300	75	14	8	0,95	1,99
300	75	91	33	0,95	1,99
300	75	71	27	0,95	1,99

Решите поставленные задачи и внесите числовые данные в незаполненные ячейки таблицы. Поясните полученные результаты.

Задание 7. Руководство крупной компании перед предстоящим представлением СМК к сертификации организовало и провело самооценку деятельности организации по 50 направлениям. В результате проведения самооценки (внутреннего аудита) по каждому из направлений была выставлена количественная оценка. В ходе проведения сертификации СМК корректность результатов самооценки была проверена выборочно комиссией внешнего аудита. Результаты внутреннего и внешнего аудита не совпадают.

В табл. 7.1 для двадцати одного варианта несоответствий в столбцах таблицы представлены величины расхождений между заявленными и фактическими результатами, полученные в ходе проведения внутреннего и внешнего аудита.

Студент по согласованию с преподавателем выбирает один из вариантов числовых данных, самостоятельно предлагает вид хозяйственной деятельности проверяемой организации, обосновывает цели и задачи аудита и вычисляет 95%-ный доверительный интервал, содержащий полную сумму расхождений для всей генеральной совокупности.

Таблица 7.1

Номера организаций и данные несоответствий между результатами внутреннего и внешнего аудитов
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	2	4	4	4	1	1	1	1
-3	-3	-2	-4	-4	-4	2	-1	2	2
4	0	4	4	4	4	3	3	3	3
5	5	-2	-2	-2	-2	4	2	4	4
2	2	-2	-2	-2	-2	5	5	3	2
6	6	-6	-6	-6	-6	6	-1	-3	6
-7	-7	2	2	2	2	7	1	7	-1
- 3	-3	2	2	2	2	8	8	2	3
4	4	2	2	2	2	9	4	=2	4
5	5	-5	-10	-10	-10	10	1	9	-1
5	5	5	10	10	10	11	3	4	1

Продолжение табл. 7.1

Номера организаций и данные несоответствий между результатами внутреннего и внешнего аудитов
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
1	2	4	-2	0	1	-1	1	1	-1	1
1	2	4	-1	0	-1	-1	1	2	-2	-2
1	2	0	2	0	-1	-1	1	2	-2	-2
0	9	0	1	0	-1	-1	1	1	0	-2
0	8	1	1	2	2	2	2	1	-2	1
0	8	1	-2	2	1	2	2	-3	0	-2
2	4	1	0	2	1	1	1	-3	0	-2
3	5	2	0	1	2	1	1	-3	0	-2
0	5	0	-3	0	1	-3	0	0	0	-2
0	3	0	1	-1	0	0	0	0	0	1
3	4	2	1	0	0	0	0	0	0	-2

Примечания. Для всех вариантов следует учитывать следующие соотношения:

t_n-1 = 2,228139;

= 0,892143 .

Внесите числовые данные в незаполненные ячейки табл. 7.2.

Таблица 7.2

№ варианта	N	n		N х	Sr	±∆SR	min ∆SR	max ∆SR
1	50	11
2	50	11
3	50	11
4	50	11
5	50	11
6	50	11
7	50	11
8	50	11
9	50	11
10	50	11
11	50	11
12	50	11
13	50	11
14	50	11
15	50	11
16	50	11
17	50	11
18	50	11
19	50	11
20	50	11
21	50	11

17