Статистические оценки параметров построение доверительных интервалов

I. Контрольные вопросы для проверки уровня усвоения

1. Назовите основные свойства, которыми должны обладать оценки параметров генеральной совокупности.

2. Назовите условия, при которых возможно обеспечить 100%-ную точность оценки параметров генеральной совокупности.

3. Почему при выборочном контроле невозможно построить интервал оценки параметров генеральной совокупности с доверительной вероятностью равной единице?

4. В каких случаях при построении доверительных интервалов используют квантили нормального распределения (Z – критерий), а в каких квантили распределения Стьюдента (t-критерий)?

5. Какой интервал называют дове­рительным интервалом.

6. Поясните понятие «степень свободы».

7. Почему при построении доверительного интервала для доли признака используется Z – критерий?

8. Назовите три параметра, которые необходимо знать для определения объема выборки.

9. Если доля признака в генеральной совокупности р заранее неизвестна, то какое значение р следует задать, чтобы определить объем выборки?

10. В каких случаях при вычислениях доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности применяется поправочный коэффициент?

11. Назовите примеры бизнес-процессов, для управления качеством которых необходимо проводить статистические оценки параметров, включая построение доверительных интервалов

II. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении

Рассматриваемая ситуация характерна для производителя, когда налажен массовый выпуск продукции с установленными техническими характеристиками. Менеджер по качеству обязан организовать выборочный контроль качества выпускаемой продукции и периодически анализировать результаты выходного контроля, не допуская отклонения определяющих параметров качества за допустимые пределы. Для потребителя данная ситуация маловероятна.

Задачи и упражнения по разделу II

2.1. Необходимо проверить качество работы автомата по розливу незамерзающей жидкости для чистки автомобильных стекол. Жидкость разливается в 5-и литровые бутыли. Требованиями к качеству работы автомата установлено, что стандартное отклонение объема жидкости от номинального значения – 5 литров в бутылях не должно превышать ± 0,02 литра.

Проверка заполнения 30 бутылей незамерзающей жидкостью дала следующие результаты. Средний объем жидкости в бутылях составил 4,995 литра.

1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%.

4,99 ≤ µ ≤ 5,002

2. Решите подобные задачи, меняя одно из требований, предъявляемых к качеству работы автомата по розливу незамерзающей жидкости:

- объем выборки n = 60;

- стандартное отклонение σ = 0,05;

- стандартное отклонение σ = 0,002;

- доверительный уровень равен 99%.

3. Основываясь на полученных решениях, определите, в каких случаях процесс розлива жидкости находится в статистически устойчивых состояниях, отвечающих установленным требованиям к качеству работы автомата по розливу незамерзающей жидкости.

2.2. Требования к работе почтальонов отделения «Почта России» заключаются в том, что каждый из почтальонов должен разнести утреннюю корреспонденцию в среднем за 2 часа, при этом стандартное отклонение не должно превышать 30-и минут.

1. Постройте интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95% для случаев, когда проверка качества выполнения почтальонами своих функциональных обязанностей оценивалась по работе 5-и, 10-и, 15-и почтальонов соответственно.

2. Поясните полученные результаты

2.3. Преподаватель курса «Математическая статистика» для оценки уровня усвоения студентами вуза материала по теме «Построение доверительных интервалов» предложил им выполнить контрольную работу по решению ряда задач и установил следующие требования для получения положительных оценок:

- оценка «отлично», если все задачи решены за 50 минут;

- оценка «хорошо», если все задачи решены за 65 минут;

- оценка «удовлетворительно», если все задачи решены за 80 минут.

Стандартное отклонение для каждого из предельных значений не должно превышать 5 минут.

В результате выполнения контрольной работы группой студентов были получены следующие результаты:

- 7 студентов получили оценку «отлично»;

- 12 студентов получили оценку «хорошо»;

- 9 студентов получили оценку «удовлетворительно».

76,733 ≤ µ ≤ 83,267

1. Постройте на уровне значимости α = 0,05 доверительный интервал для распределения продолжительности времени решения задач студентами, получившими положительные оценки.

2. Оцените степень корректности требований, установленных преподавателем.

3. Ответьте на вопросы 1 и 2, если требованиями было бы установлено, что для получения оценки «хорошо» необходимо решить задачи за 55 минут, и с этими требованиями справились 9 студентов.