2) Определим последовательность всех возможных эле­ментарных конъюнкций всех переменных

и установим взаимно однознач­ное соответствие

Г: Р₂ (3) ® В₈ следующим образом:

для функции f, представленной СДНФ, в соответствую­щем ей векторе a = (a₁,a₂,…, a_n) i-я компонента _i = 1, если в СДНФ f имеется i-я конъюнкция, и a_i = 0 - в противном случае.

Тогда:

Г(f₁) = = (0 0 011 0 11) = ,

Г(f₂) = =

= (0 0 1 1 0 1 1 l) = .

Выполним операции (&, , ) над функциями f₁ и f₂, используя изоморфизм булевых алгебр Г: Р₂ (3) В₈:

а) Г(f₁ & f₂) =  &  = (0 0 0 1 1 0 1 1) & (0 0 1 1 0 1 1 1) = =(0 0 0 1 0 0 1 1).

Но вектору (0 0 0 1 0 0 1 1) соответствует функция, СДНФ которой

Г^-1 ((0 0 0 1 0 0 1 1)) = .

Таким образом, f₁ & f₂ =.

б) Г (f₁  f₂) =    = (0 0 0 1 1 0 1 1)  (0 0 1 10 1 1 1) =

= (0 0 1 1 1 1 1 1).

Но ((0 0 1 1 1 1 1 1)) =

=

Таким образом

в) (1 1 1 00 1 00).

Ho Г^-1((1 1 1 0 0 1 0 0)) .

Таким образом,

Пример 7.

Выполнить операции объединения и пересече­ния над множествами А, В  U из примера 4, используя изо­морфизм булевых алгебр множеств и логических функций.

Решение Пример 7.

Изоморфизм булевых алгебр позволяет переходить от операций над множествами к операциям над функциями и обратно. Изоморфизм булевых алгебр требует выполнения условия (4.28): U= 2^m.

Поэтому для выполнения опера­ций над А = {a, d, е}, В = {b, с, d} рассмотрим изоморфные алгебры:

((U); , , ) и (Р₂ (3); , , ).

Пусть U = {а, b, с, d, е, h, k, l}; взаимно однозначное соответствие Г: b(U)  Р₂ (3) установим так, как показано в табл. 4.15, где в край­нем правом столбце перечислены элемен­ты множества U.

Фун­кции f и g, соответ­ствующие множе­ствам А, В, а также их конъюнкция, дизъюн­кция, отрицание даны таблицами истиннос­ти (табл. 4.15).

Таблица 4.15 x y z  f g f &g f  g Элемент множе­ства U ООО 1 0 0 1 а 0 0 1 0 1 0 1 b 0 1 0 0 1 0 1 с 0 1 1 1 1 1 1 d 1 0 0 1 0 0 1 е 1 0 1 0 0 0 0 h 1 1 0 0 0 0 0 k 111 0 0 0 0 1

Тогда:

Г (A & B) = f & g,

но Г^-l (f & g) = M_{f & g}={d},

т.е. А & В = {d}; Г(A В) =f  g,

но Г^-l (f  g) = M_{f  g}={ а, b, с, d, е,

т.е. АВ = {а, b, с, d, е}.