Решение Пример 1

Доказательство равенства двух множеств выполнено с помо­щью диаграмм Венна (см. пример 2, § 1.3).

По определению I равенства множеств

мно­жества равны X = Y, если их элементы совпадают.

Это означает, что Х = Y, если из того, что элемент а  X,

следует элемент а  Y, и из того, что a  X, следует a  Y.

Покажем сначала, что если произвольный элемент а при­надлежит левой части соотношения, т.е. а  А  (В  С),

то он принадлежит и правой части данного соотношения,

т.е. а  (A  В)  (А  С).

Пусть

1. а  А  (В  С).

Из определения операции объединения следует, что элемент а принадлежит объединению множеств А и (В  С), если он принадлежит хотя бы одному из них (или, что очевидно, тому и другому). Таким образом, а  А или а  (В  С), при этом возможны следующие случаи:

а принадлежит множеству А и а не принадлежит пе­ресечению множеств В  С:

а А и а (В  С).

Последнее условие выполняется,

если а не принадлежит В или С, или им обоим,

т.е.

1.1.1. а А, а  В, а  С;

1.1.2. аА, а В, а С;

1.1.3. а  А, а  В, а  С;

1.2. а  А и а  (В  С), т.е. а  А, а  В, а  С;

1.3. а  А и а  (В  С), т.е. а  А, а  В, а  С.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1.1. Так как а  А, то а принадлежит объединению множе­ства

А с любым множеством, в том числе а  (А  В) и а  (А  С); следовательно, а принадлежит и их пересечению:

а  (А  В)  (А  С).

1.2. Так как а  В, а  С, то а  (А и В) и а  (A  С) следовательно,

а е (А и В) п (А и С).

1.3. Так как а е А, то этого достаточно,

чтобы а  (A  В) и а  (А  С),

следовательно, а  (А  В)  (А  С).

Таким образом, в любом из рассмотренных случаев из того, что а  А  (В  С), следует, что а  (A  В)  (A  С).

Покажем справедливость второго условия опреде­ления I равенства множеств: если произвольный элемент а не принадлежит левой части соотношения а  А  (В  С),

то он не принадлежит и правой части данного соотношения

а  (А  В)  (А иС).

Пусть теперь:

2. а  А и (В п С).

Элемент а не принадлежит объединению двух множеств, если он не принадлежит ни одному их них.

Тогда а  А и а  (В  С), т.е. возможны следующие случаи

(см. п. 1.1):

2.1. а A, a  В, а  С;

2.2. а  А, а  В, а  С;

2.3. а  A, a  В, а  С.

Рассмотрим каждый из этих случаев:

2.1. Так как а  А, а  В, то а  (А  В), следовательно,

а (А  В)  (А  С).

2.2. Так как а  А, а  С, то а  (А  С), следовательно,

a  (А  В)  (А  С).

2.3. Так как а  А, а  В, то этого достаточно, чтобы а  (А  В) и, следовательно, а  (А  В)  (А  С).

Как видим, в любом из этих случаев из того, что а А  (В  С), следует, что а  (А  В)  (А  С).

Таким образом, множества А  (В  С) и (А  В)  (А  С) совпадают и по определению I равенства множеств

А  (В  С) = (А  В)  (А  С), что и требовалось доказать.

Примечание 1.

В примере 1 проверка условий 1.1.3 и 2.3 -- избыточна.

Примечание 2.

Будем использовать символ ,

который в выражениях типа Р  Q будет означать:

“если справедливо Р, то спра­ведливо и Q”

или “из того, что Р, следует Q” и т.п.,

а символ  в выра­жениях типа P  Q будет означать:

“тогда и только тогда, когда”,

“если и только если” и т.п.

Пример 2.

Доказать справедливость соотношения

(А  В)  С = (А  С)  (В  С)

(свойство дистрибутивности справа пересечения  относи­тельно объединения ).