17 Лекция

§ 4.6. Булева алгебра и теория множеств

Всякая алгебра, содержащая две бинарные и одну унар­ную операции, называется булевой, если ее операции удов­летворяют соотношениям (4.14) - (4.23).

Примеры булевых алгебр:

(P₂, &, , ) - булева алгебра логических функций с опера­циями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания;

(P₂(m), &,Ú, ù) - булева алгебра логических функций m переменных, являющаяся под алгеброй алгебры

(Р₂; &, Ú, ù), Р₂ (m)  Р₂;

((U); , , ) - булева алгебра множеств над U с опе­рациями пересечения, объединения и дополнения;

((U); , , ) - булева алгебра множеств над

U, U  U, являющаяся подалгеброй алгебры

((U); , , );

(В_п; &, Ú, ù) - булева алгебра двоичных векторов длины n с покомпонентными (поразрядными) логическими операци­ями над двоичными векторами, определенными следующим образом.

Для любых векторов  = (₁,₂,…, _n)

и  = (₁, ₂,…, _n):

а) a & b = (a₁ & b₁, a₂ & b₂, ..., a_n & b_n),

где a_i & b_i = 1, если a_i = b_i = 1 и a_i & b_i , = 0 в любом другом случае;

б) a  b = (a₁  b₁, a₂  b₂, ..., a_n b_n),

где , если a_i Ú b_i, = 0, если a_i = b_i = 0 и a_i & b_i , = 1

в любом другом случае;

в)

где = 0, если , = 1 и = 1 в противном случае.

Для булевых алгебр логических функций, множеств, дво­ичных векторов справедливы следующие теоремы.

Теорема 3.

Если U = n, то булева алгебра множеств ((U); , , ) изоморфна булевой алгебре двоичных векторов

(В_п; &, Ú, ù).

Теорема 4.

Если |U| = 2^m то булева алгебра множеств (В_п; &, Ú, ù)

изоморфна булевой алгебре функций (P₂, &, , ).

Взаимный изоморфизм данных булевых алгебр, таким образом, выполняется, если

|U| = n = 2^m (4.28)

В этом случае b(U) = В_п = P₂(m)

и между множе­ствами b(U), и P₂(m) устанавливается взаимно однознач­ное соответствие.

Изоморфизм булевых алгебр широко используется в ком­пьютерных вычислениях, например вместо выполнения опе­раций над множествами или логическими функциями ис­пользуют их изоморфные аналоги - легко реализуемые на компьютере поразрядные операции над двоичными векто­рами.

Пример 1.

Представить соотношения (4.14) - (4.23) для булевой алгебры множеств.

Решение Пример 1.

Пусть множества А, В, С  U.

Основные эквивалентные соотношения (за­коны) в булевой алгебре множеств (b (U); Ç, È, ù)

Ассоциативность пересечения и объединения:

а) A  (B  C) = (A  B)  C = A Ç B Ç C; (4.29)

б) (A  B)  C = (A  B) È C = A È B È C.

Коммутативность пересечения и объединения:

а) A  B = B Ç A ;

б) A È B = B È A (4.30)

Дистрибутивность пересечения относительно объединения:

A  (B È C) = (A  B) È (A  С). (4.31)

Дистрибутивность объединения относительно пересече­ния:

A  (B Ç C) = (A È B) Ç (A È С) (4.32)

Идемпотентность:

а) A Ç A = A

б) A È A = A (4.33)

Закон двойного “отрицания”:

. (4.34)

Свойства универсального U и пустого  множеств:

а) A Ç U = A,

в) AÈ U = U

д) ; (4.35)

б) A Ç  = A;

г) A È  = А;

е) .

Законы де Моргана

a)

б) (4.36)

Закон противоречия:

(4.37)

Закон исключенного третьего:

(4.38)

Пример 2.

Для любых множеств А, В  U булевой алгеб­ры множеств ((U); , , );

доказать справедливость:

1) дистрибутивности пересечения и объединения относи­тельно друг друга (4.31) - (4.32):

2) правил де Моргана (4.43):

или U \ (A  B)=(U/A)  (U / B).

или U \ (A  B)=(U/A)  (U / B).

Решение Пример 2.

1) Доказательство дистрибутивности пересечения и объединения относительно друг друга (2.31) - (2.32)

Взаимная дистрибутивность операций пересечения и объединения.

Для операций объединения и пересечения множеств имеют место быть законы дистрибутивности: (А∪В)∩С=(А∩С)∪(В∩С) (1) (А∩В)∪С=(А∪С)∩(В∪С) (2) Док-ва этих теоретико-множественных равенств проводятся в обе стороны, т.е. для доказательства того, что А=В, показывают, что с одной стороны А⊂В, а с другой стороны А⊃В. Доказательство (1). ⇒ (А∪В)∩С ⊂ (А∩С)∪(В∩С), для любогоx, x∈(А∪В)∩С, следовательно, x∈A или х∈В и х∈С, следовательно, (х∈А и х∈С) или (х∈В и х∈С) , следовательно, х∈А∩С или х∈ В∩С, следовательно, х∈(А∩С)∪(В∩С); Обратное (А∪В)∩С ⊃ (А∩С)∪(В∩С) доказывается аналогично, все стрелки можно обернуть. Доказательство (2). ⇒ (А∩В)∪С ⊂ (А∪С)∩(В∪С), для любогоx, x∈(А∩В)∪С, следовательно, x∈A и х∈В или х∈С, следовательно, (х∈А или х∈С) и (х∈В или х∈С) , следовательно, х∈А∩С и х∈ В∩С, следовательно, х∈(А∪С)∩(В∪С); Обратное (А∩В)∪С ⊃ (А∪С)∩(В∪С) доказывается аналогично, все стрелки можно обернуть.

в виде соотношений

(дистрибутивности справа  относительно  и слева и от­носительно ) было проведено в § 1.4 (см. примеры 1, 2).

а) (А  В)  С = (А  С)  (В  С), или

(А  В)  С =(А  В)  (А  С)

Пример 1. Доказать справедливость соотношения

А  (В  C) = (А  В)  (A  C)

(свойство дистрибутивности слева объединения  относи­тельно пересечения ).