Стандартный метод установления эквива­лентности двух формул:

1. по формуле составляют таблицу истин­ности;

2. полученные таблицы истинности сравнивают по каждому набо­ру значений переменных (стандартный метод требует 2  2ⁿ вычислений).

Пример 1.

Логическая функция трех переменных задана формулой в префиксной форме:

f (х₁, х_2, х₃) = f₃(f₁ (х₃, х₁), f₂ (х₁, f₃ (х_1, х₂)))

Представить f в инфиксной форме, если f_1, f_2, f₃  би­нарные операции: f₁ - , f₂ - , f₃ - .

Вычислить значение функции на наборе (0, 1, 1): х₁ = 0, х₂= 1, х₃= 1.

Решение Пример 1.

Инфиксная форма заданной логической функции:

f (х₁, х_2, х₃) = (х₃ & х₁)  (х₁  (х₁  х₂)).

Вычислим значение f на наборе (0,1,1), для чего в полу­ченную формулу подставим значения переменных и восполь­зуемся табл. 4.2:

f(0,1,1) = (1 & 0)  ((0  (0  1)) =

= ( 0 )  ((0  ( 1 ) ) =

= ( 0 )  (( 1 )) = 1

Таким образом, анализ показал, что составное высказы­вание, построенное из трех простых высказываний таких, что х₁ - ложно, х₂ и х₃- истинны, с помощью логических связок: & - “И”,  - “ИЛИ”,  - “ЛИБО... , ЛИБО”, - ис­тинно.

Пример 2.

Составить таблицу истинности функции трех переменных, заданной формулой:

f (х₁, х_2, х₃) = (  х₂)  (х₁ & х₃).

Решение Пример 2.

Для построения таблицы истинности f вычислим ее

значения на каждом из восьми наборов значений, используя табл. 4.1 и 4.2.

Таблица 4.3

х1, х2, х3  х2 x1&x3 (  х2)( x1&x3) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Пример 3.

Доказать эквивалентность (равносильность) формул:

а) х₁ | х₂ = =  ; (4.1)

б) х₁  х₂ = =  (4.2)

Решение Пример 3.

Доказывают эквивалентности формул стандартным методом, составляют таблицы истинно­сти каждой из указанных формул (табл. 4.2).

Формулы х₁ |х₂= и Ú принимают одинаковые значения на одних и тех же наборах значений (столбцы, соот­ветствующие этим формулам, помечены в табл. 4.4 меткой *),

Таблица 4.4 х1 х2 х1 |х2* Л\ 1 2 х1& х2 *  0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0

следовательно, они представляют одну и ту же функцию.

Та­ким образом, х₁ |х₂= и Ú .

Аналогично докажем второй случай

в табл. 4.5.

х1 х2 х1х2* х1  х2 * & * 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 Таблица 4.5

Пример 4.

Умозаключения, соответствующие схемам ло­гически правильных рассуждений (см. § 4.2), истинны при любых наборах значений входящих в них высказываний. Подтвердить истинность правил 1 и 2 построением таблиц истинности.

Решение Пример 4.

Правила 1 и 2 представляются логическими формула­ми (см. примечание на с. 123):

примечание на с. 123 ПРАВИЛО № 1 Правило заключения - утверждающий модус (Modus Ponens): "Если из высказывания А следует высказывание В и справедливо (истинно) высказывание А, то справедливо В" ( Способ спуска). Обозначается: где A, B — любые формулы.

ПРАВИЛО № 2 Правило отрицания - отрицательный модус (Modus Tollens): "Если из А следует В, но высказывание В неверно, то неверно А” (Доказательство от противного). Обозначается:

1. ((А  В) & А)  В;

2. ((А  В) B)  A.

Построенные таблицы истинности этих правил (табл. 4.6) подтверждают их тождественную истинность при любых значениях высказываний А, В.

АВ АВ (АВ) & А Правило 1: (AВ)&А * А B ((AВ)&B Правило 2: ((АВ)B)  A 0 0 1 0 ] 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Таблица 4.6

Упражнения

1. Что означает запись f(x_1,x₂,x₃) = g (х₁, х₂) ?

2. Чему равно число различных логических функций трех переменных?

3. Представить префиксные формулы логических функ­ций трех переменных (x_1,x₂,x₃) в инфиксной форме, если f₁ - , f₂ - , f₃ - , f₄ - :

1) f₁(x_3, f₃ (x_1, f₂ (f₄ (x₁), x₃)));

2) f₃( f₁ (x_3, x₁), f₂ (x₁, f₃ (x₁ f₄ x₂))));

3) f₃( f₄ (x₁), f₁(x₂, f₂ (x₃ f₃ (x_1, f₄ (x₃))));

Вычислить f на наборах значений:

а) (0, 1, 1), б) (1, 0, 1).

4. Вычислить значения функций f₄ (x_1,x₂,x₃) на наборах:

а) (0, 1,0); б) (1,1,0):

1. (х₁~х₂) (( х₁ & x₃)  х₂);

2. ((x₃  ) & х₂)  (х₁  x₃);

3. ((х₂  x₃) & х₁) ~ ((х₁  x₃)  х₂).

5. Доказать справедливость следующих соотношений:

а) х  (y  z) = (х Ú y) Ú z

(ассоциативность дизъюнкции);

б) х (y z) = (x y)  z

(ассоциативность конъюнкции);

в) х  (  )  y z = х  y  z;

г) х (у  z) = х у  x z

(дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции);

д) х (y  z) = (х  y)  (x  z) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции);

е) х  х = х ;

ж) х  x  у = x.

6. Построением таблиц истинности подтвердить справед­ливость (тождественную истинность) правил 4-8, 10-11 (см. § 4.2) логически правильных рассуждений.

ПРИЛОЖЕНИЕ