14 Лекция

§ 4.3. Алгебра логики

Как было отмечено на (рис. 4.1)

Математическая логика включает два раздела: логика высказываний ло­гика предикатов

Рис. 4.1

Два подхода к построению логики высказываний
Алгебра логики раздел математической логики изучает строение сложных логических высказываний (логических формул) и способы установления их истинности с помощью алгебраи­ческих методов	Исчисление вы­сказываний
В алгебре логики: Основные объекты состоят из букв, знаков логических опе­раций и скобок. Буквы обозначают логические (двоичные) переменные, принимают только два значения - “ложь” и “истина”. Знаки операций это логические операции связки. Формула - алгебраическое выражение - задает логи­ческую функцию логических переменных - это преобразование по правилам - получает одно значение из двух возможных. Пример Пусть В = {0, 1} - бинарное множество, элементы формальные символы 1 и 0, не имею­т арифметического смысла они принимают значение {“да”, “нет”}, {“истинно”, “ложно”}

Алгебра логики - алгебра, образована множеством

В ={0, 1} со всеми возможными операциями на нем.

Функцией алгебры логики (или логической функцией) f от п переменных f (х₁ , х₂ ..., х_п) называется п-арная логичес­кая операция на В, т.е. f: В^п  В. Множество всех логичес­ких функций (логических операций) обозначается Р₂, мно­жество всех логических операций п переменных - Р₂(п).

Любую логическую функцию f (х,... , х_п) можно задать таблицей истинности, в левой части которой выписаны все возможные наборы значений ее аргументов x₁... , х_n , а пра­вая часть представляет собой столбец значений функций, соответствующих этим наборам.

Набор значений перемен­ных, на котором функция принимает значение f = 1, называ­ется единичным набором функции f;

множество всех еди­ничных наборов - единичным множеством функции f .

Ана­логично набор значений, на котором f = 0, называется нулевым набором функции f,

а множество нулевых наборов –

нулевым множеством.

Число всех возможных различающихся наборов значений п переменных логической функции f(x₁..., х_n) равно 2ⁿ (рав­но числу всех возможных двоичных векторов длины п).

Число всех различных функций п переменных равно числу возмож­ных расстановок нулей и единиц в столбце с 2ⁿ строками, т.е. |P₂(n) = .

Функ­цию от одной переменной называют унарной,

функ­цию от двух переменных - бинарной логи­ческой операцией, однозначность логических связок “не”, “и”, “или” позволяет описать систему, явле­ния, формализовать рассуждения.

Множество всех унарных логических функций одной переменной Р2(1) - представлено логическими операциями - в табл.4.1	x 0 1 2 3 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 x 1 Таблица истинности |Р2(1)| = 4:
0 и 3 - константы 0 и 1. Значения функций не зависят от переменной x, и в таких случаях говорят, что переменная х является несущественной (фиктивной) для этих функций; 1(х) = х (повторение переменной), 2(х) = - отрицание переменной.

Множество бинарных логических операций логических функций двух переменных Р₂(2) представлено таблицами истинности в табл. 4.2 |Р₂(2)| = 16 функций:

шесть функций имеют фиктивные переменные. В двух нижних дополнительных строках таблицы указаны наиболее употребимые наименования логических операций и их обозначения, которые, однако, не являются единственными.

Таблица 4.2 х1 х2 j0 j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Константа­ 0 станта 0 Конъ­юнкция & юнк­ ция Пере­менная х1 менная *i Переменная­ х2 менная *2 Сложе­ние по модулю 2 2 ние по моду- Дизъ­юнкция  юнк­ ция 0 & х1 х2 2 

Таблица 4.2 продолжение

х1 х2	j8	j9	j10	j11	j12	j13	j14	j15
0 0	1	1	1	1	1	1	1	1
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1
	Стрелка Пирса станта 0	Эквивалентность	Отрицание х2		Отрицание х1	Импликация	Штрих Шеффера	Константа 1
								1

Например:

j₁ (х₁, х₂) -конъюнкция (логическое умножение, операция И) обозначают: х₁ & х₂; х₁ х₂,или х₁ х₂, х_1 х₂;

j₇ (х₁, х₂) - дизъюнкция (логическое сложение, операция ИЛИ) обозначают: х₁  х₂, иногда х₁, + х₂ x₂ (mod 2).

Логические функции трех и более переменных за­дают формулами, состоящими из символов переменных и знаков унарных и бинарных операций.

Например,

выражение f (х₁, х_2, х₃) = (  х₂)  (х₁ & х₃) означает, что функция трех переменных f задана формулой, состоящей из символов этих перемен­ных х_1, х₂, х₃, над которыми выполняются

- одна унарная операция отрицания

- и три бинарные операции:

• дизъюнкция ()

• импликация ()

• и конъюнкция (&).

Операции:

, , ,  , , , |, .

Значение любой логической формулы, можно вычислить для лю­бого набора значений переменных, по таблицам истинности 4.1 и 4.2.

ВЫВОД

формула наряду с таблицей служит спо­собом задания и вычисления функции.

Общий случай фор­мула описывает логическую функцию как суперпозицию более простых функций.

Фор­мулы называют эквивалентными, или равносильными, обозначают знаком (=),если они представляют одну и ту же функцию.