Операционное исчисление

766.-785. Найти изображения функции:

766. .	767. .
768. .	769. .
770. .	771. .
772. .	773. .
774. .	775. .
776. .	777. .
778. .	779. .
780. .	781. .
782. .	783. .
784. .	785. .

786.-797. Найти оригинал по изображению:

786. .	787. .
788. .	789. .
790. .	791. .
792. .	793. .
794. .	795. .
796. .	797. .

798.-803. Решить дифференциальные уравнения:

798. .	799. .
800.	801. .
802. .
803. .

804.-807. Решить системы дифференциальных уравнений:

804. .

805. .

806. .

807. .

808.-810. Вычислить несобственный интеграл:

808. . 809. . 810. .

Ответы. 766. . 767. . 768. . 769. . 770. .

771. . 772. . 773. . 774. . 775. .

776. . 777. . 778. . 779. . 780. .

781. . 782. . 783. . 784. . 785. .

786. . 787. . 788. . 789. .

790. . 791. . 792. . 793. . 794. .

795. . 796. . 797. .

798. . 799. . 800. . 801.

. 802. . 803. .

804. . 805. . 806.

. 807. . 808. . 809. . 810. 0.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Комплексные числа.

Комплексным числом называется число вида , где и - действительные числа. Число называется действительной частью комплексного числа ( ), - мнимой частью комплексного числа ( ), - мнимая единица, обладающая свойством .

Комплексные числа и являются взаимно сопряженными.

Рис.1

Комплексное число может быть изображено на плоскости как точка с координатами . Ось Ox является действительной осью, ось Oy - мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (рис.1). Каждой точке комплексной плоскости соответствует радиус-вектор этой точки; его длина называется модулем комплексного числа , обозначается и вычисляется по формуле .

Угол между радиус-вектором и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа и обозначается . Главным значением аргумента является значение из интервала , которое обозначается ( ). Таким образом, , .

Угол для любого определяется по формулам:

Формы записи комплексных чисел:

1. - алгебраическая форма;

2. - тригонометрическая форма;

3. - показательная форма.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа связаны формулой Эйлера: .

Действия над комплексными числами:

1. Числа заданы в алгебраической форме ( и ):

• Сумма ;

• Произведение ;

• Частное , где .

2. Числа заданы в тригонометрической форме ( и ):

• Сумма (как в алгебраической форме);

• Произведение ;

• Частное .

3. Числа заданы в показательной форме ( , ):

• Сумма (как в алгебраической форме);

• Произведение ;

• Частное .

Возведение комплексных чисел в целую положительную степень определяется формулами:

• если , то ;

• если , то .

\Корень -ой степени из имеет различных значений, которые находятся по формулам:

• если , то

, где =0,1,… ;

• если , то , где =0,1,… .

Таблица основных эквивалентностей

1. при	7. при
2. при	8. при
3. при	9. при
4. при	10. , , при
5. при	11. , , при
6. при	12. при