Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде  где функция  – общее решение однородного уравнения  а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни:  Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид  Поскольку правая часть исходного уравнения  то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  и  являются простыми корнями характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Решение: Для решения дифференциального уравнения  необходимо сделать замену    Тогда порядок этого уравнения понизится на одну единицу и оно примет вид  Это линейное относительно  уравнение, которое решается заменой   Решим это уравнение:  или  Пусть  Тогда  Подставим найденное значение  в уравнение  Получим:  Тогда  и Следовательно,  и

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Функции  и являются решением системы дифференциальных уравнений …

Решение: Найдем  и :    Подставив в систему  видим, что второе уравнение не обращается в тождество. Подставляя в системы  и  получаем, что оба уравнения не обращаются в тождество. При подстановке в систему  оба уравнения обращаются в тождество. Следовательно, функции  и  являются решением системы дифференциальных уравнений .