Тема: Типы дифференциальных уравнений

Уравнение  является …

			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

Решение: Перепишем уравнение  в виде   В уравнении  функция  является однородной относительно  и  функцией нулевого порядка. Действительно,   Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.

Тема: Поле направлений и изоклины

Дано дифференциальное уравнение   Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке  образует с осью Oy угол  при α равном …

Решение: Данное уравнение можно представить в виде . Действительно,  или   Тогда угол  определяется из равенства  где  – координаты точки A. В рассматриваемом случае   то есть  Следовательно,

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение  будет уравнением с разделяющимися переменными при значении , равном …

			2
			4
			0
			1

Решение: Данное уравнение можно представить в виде: Это уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными при  то есть при  Откуда

Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение  заменой  приводится к уравнению с разделенными переменными, которое имеет вид …

Решение: Если  то  и Тогда уравнение  запишется в виде Разделив переменные, получим:

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Решение: Введем замену    и получим:  или Пусть  Тогда  Подставим найденное значение u в уравнение   Получим:  Тогда  и Окончательное решение имеет вид

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Интегральная кривая уравнения  проходящая через точку  имеет вид …

Решение: Запишем уравнение в виде  Проинтегрировав обе части уравнения, получим:  где  Для вычисления значения C подставим в найденное решение координаты точки   Тогда 4 = 2C и C = 2. Следовательно, уравнение кривой имеет вид

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид …

Решение: Составим характеристическое уравнение  и решим его:  Тогда общее решение исходного уравнения примет вид

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Общее решение системы дифференциальных уравнений  имеет вид …

Тема: Типы дифференциальных уравнений

Уравнение  является …

			уравнением Бернулли
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка

Решение: Уравнение  можно представить в виде  где   Действительно,  Поэтому данное уравнение является уравнением Бернулли.

Тема: Поле направлений и изоклины

Дано дифференциальное уравнение  Тогда отрезок соответствующего ему поля направлений в точке  образует с осью Oy угол, равный …

Решение: Так как дифференциальное уравнение имеет вид   то искомый угол  определяется из равенства   где  – координаты точки A. В рассматриваемом случае  то есть Следовательно,

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

Решение: Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть  а угловой коэффициент радиус-вектора точки касания определяется отношением  Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение с разделяющимися переменными  Разделив переменные, получим  Проинтегрируем обе части этого уравнения:   Тогда  где  Откуда  

Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий интеграл дифференциального уравнения  имеет вид …

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общее решение дифференциального уравнения   имеет вид …

Решение: Примем за неизвестную функцию  Тогда уравнение  можно записать в виде  или  Введем замену , Тогда уравнение  примет вид  или Пусть  Тогда  Подставим найденное значение u в уравнение  Получим:  то есть  Окончательное решение имеет вид

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Решение задачи Коши  имеет вид …

Решение: Сделаем замену  Тогда    и уравнение запишется в виде  Разделив переменные, получим:  Проинтегрируем обе части последнего уравнения:   Сделаем обратную замену:  подставим в найденное общее решение начальное условие  Тогда  и   Следовательно, частное решение имеет вид

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Функция  является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка …

Решение: Уравнение  не является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Подставив    и  в уравнения  и , не получим тождества. Подставив    и  в уравнение  получим тождество. Следовательно, функция  является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка