Тема: Типы дифференциальных уравнений

Уравнение  является …

			уравнением с разделяющимися переменными
			линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка
			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли

Решение: Данное уравнение можно представить в виде Откуда Следовательно, это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Тема: Поле направлений и изоклины

Дано дифференциальное уравнение   Тогда его изоклины представляют собой …

			семейство окружностей
			пучок прямых, проходящих через одну точку
			семейство гипербол
			семейство параллельных прямых

Решение: Данное уравнение можно представить в виде   Уравнения изоклин имеют вид  или   При  эти уравнения задают семейство окружностей с центром в начале координат.

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если угловой коэффициент касательной к кривой в любой ее точке равен удвоенной абсциссе точки касания, то уравнение этой кривой будет иметь вид …

Решение: Угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть  Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение  Решив его, получим

Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий интеграл дифференциального уравнения  имеет вид …

			, где
			где
			где
			где

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Решение: Введем замену    Тогда уравнение  примет вид:  или  Пусть  Тогда  Подставим найденное значение u в уравнение . Получим:  то есть  и Окончательное решение имеет вид

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Решение задачи Коши  имеет вид …

Решение: Уравнение  перепишем в виде  Введем замену    Получим:  или   Пусть  Тогда  Подставим найденное значение u в уравнение  Получим:  То есть  и  Тогда общее решение примет вид Подставим в найденное общее решение начальное условие   тогда  и  Следовательно, частное решение имеет вид

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид …

Решение: Составим характеристическое уравнение  и решим его:  Тогда общее решение исходного уравнения примет вид

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде  где функция  – общее решение однородного уравнения  а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни:  Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид  Поскольку правая часть исходного уравнения  то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, а  – является, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Решение: Проинтегрируем последовательно обе части уравнения два раза:   То есть общее решение примет вид

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Функции  и являются решением системы дифференциальных уравнений …

Решение: Найдем  и :    Подставив в систему  видим, что второе уравнение не обращается в тождество. Подставив в систему  видим, что первое уравнение не обращается в тождество. Подставляя в систему  получаем, что оба уравнения не обращаются в тождество. При подстановке в систему  оба уравнения обращаются в тождество. Следовательно, функции  и  являются решением системы дифференциальных уравнений