Тема: Типы дифференциальных уравнений

Уравнение  является …

			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			уравнением Бернулли

Решение: Уравнение  можно представить в виде   где функция  является однородной относительно x и y функцией нулевого порядка. Действительно,   Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.

Тема: Поле направлений и изоклины

Дано дифференциальное уравнение  Тогда его изоклины представляют собой …

			семейство парабол
			пучок прямых, проходящих через одну точку
			семейство гипербол
			семейство эллипсов

Тема: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если подкасательная в любой точке кривой в четыре раза меньше углового коэффициента касательной к этой кривой в любой ее точке, то уравнение этой кривой может иметь вид …

Решение: Подкасательная в произвольной точке равна  а угловой коэффициент касательной в произвольной точке равен производной в этой точке, то есть  Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение  или  Разделив переменные, получим  Проинтегрировав обе части этого уравнения, получим:  или

Тема: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий интеграл дифференциального уравнения  имеет вид …

			, где
			где
			где
			где

Решение: Сделаем замену  Тогда    и уравнение  примет вид:  После преобразований получим уравнение с разделяющимися переменными   или  Проинтегрировав обе части, получим:  где . Сделаем обратную замену:

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция  является общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка …

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Частное решение дифференциального уравнения  удовлетворяющее условию  имеет вид …

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид …

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде  где функция  – общее решение однородного уравнения  а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни:  Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид  Поскольку правая часть исходного уравнения  то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, а  – является, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде