Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Уравнение кривой, проходящей через точку  подкасательная которой в любой ее точке равна 4 имеет вид …

Решение: Подкасательная в произвольной точке равна  Тогда для нахождения уравнения искомой кривой получим уравнение  или  Проинтегрировав обе части этого уравнения, получим:   Для вычисления значения C подставим в найденное решение координаты точки  Тогда  и  Следовательно, уравнение кривой имеет вид

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Функция  является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка …

Решение: Уравнение  не является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Подставив    и  в уравнения  и , не получим тождества. Подставив    и  в уравнение  получим тождество. Следовательно, функция  является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде  где функция  – общее решение однородного уравнения  а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни:  Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид   Поскольку правая часть исходного уравнения  то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  является корнем характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Общее решение дифференциального уравнения  при  имеет вид …

Решение: Для решения дифференциального уравнения  необходимо сделать замену    Тогда порядок этого уравнения понизится на одну единицу и оно примет вид   Решим это уравнение:        и  где Следовательно,

Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Общее решение системы дифференциальных уравнений   имеет вид …

Решение: Решим систему дифференциальных уравнений методом исключения. Из первого уравнения находим производную  и после подстановки выражений для  и  во второе уравнение системы получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами  Характеристическое уравнение  имеет два действительных корня: Таким корням соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения Дифференцируя полученное решение, находим Тогда общее решение системы уравнений имеет вид