Применение вычетов к вычислению интегралов.
Основная теорема о вычетах:
Пусть
-аналитическая
функция в замкнутой области
,
кроме конечного числа изолированных
особых точек
,
,…,
(полюсов или существенно особых точек).
Тогда интеграл от функции по контуру
,
содержащему внутри себя эти точки и
целиком лежащему в области
,
равен произведению
на сумму вычетов в указанных особых
точках, т.е.
.
(32)
Задача
15.а).
Вычислить интеграл
с помощью вычетов, найденных в задаче
14.
Особые точки лежат в круге , тогда:
.
Задача
15.б). Вычислить
интеграл
с помощью вычетов, найденных в задаче
14.
Особые точки , .
.
Вариант 1
Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения
.
Результаты вычислений изобразить на
комплексной плоскости.
,
.Найти модуль и аргумент комплексного числа
.Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству
,
.Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме:
.Найти значение выражения (
)а) k= 3
б) k=2/5
Дано
.
Тогда
Дана функция
,
где
.
Тогда
Найти действительную и мнимую часть
.Пусть
,
,тогда
?Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении
.
D:
,
,
,
.
Найти аналитическую функцию
по следующим данным:
,
.Вычислить интеграл
,
АВ:
,
,
.Разложить функцию в ряд Лорана:
,
.Найти вычеты функций:
-
а)
б)
Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
-
а)
б)
Вариант 2
Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости.
,
.Найти модуль и аргумент комплексного числа
.Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству
,
Re
z<1,
Im
z>-1.Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме:
.Найти значение выражения (
)а) k= 4
б) k= 1/7
Дано . Тогда
Дана функция , где . Тогда
Найти действительную и мнимую часть
.Пусть
,
,
тогда
?Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , ,
.
Найти аналитическую функцию по следующим данным:
,
.Вычислить интеграл
.
,
.Разложить функцию в ряд Лорана: ,
.Найти вычеты функций:
-
а)
б)
Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:
-
а)
б)
