Ряды Лорана

Пусть - однозначная и аналитическая функция в кольце . Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда

(30)

Ряд в правой части равенства называется разложением в ряд Лорана функции . Коэффициенты этого ряда вычисляются по формуле:

, . (31)

Заметим, что ряд Лорана состоит их двух частей:

Ряд, стоящий в первой скобке, называется главной частью ряда Лорана, а ряд во второй скобке – правильной частью ряда Лорана.

Вычисление коэффициентов с помощью интегралов (31) часто бывает достаточно сложным. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используют искусственные приемы. Например, для разложения некоторых функций используют разложение в ряд Тейлора, а для разложения рациональных дробей используют сначала разложение на простые дроби, а затем используют формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( , где -первый член геометрической прогрессии, - знаменатель).

Задача 13.1. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Найдем разложение в ряд Тейлора функции , учитывая, что

, , тогда

Следовательно:

-разложение в ряд Лорана указанной функции.

Задача 13.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Разложим дробь на элементарные дроби:

.

Т.к. в условии указано кольцо , то разложение нужно искать по степеням (если указано кольцо , тогда разложение по степеням ). В таком случае дробь -уже является разложением в ряд Лорана.

Дробь представим как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , (т.к. из условия задачи , то что прогрессия с -убывающая):

Итого, разложение указанной функции в ряд Лорана имеет вид:

Вычеты функции

Если ряд Лорана содержит главную часть, то называется изолированной особой точкой. Коэффициент называется вычетом функции относительно изолированной особой точки .

Изолированная особая точка является полюсом -го порядка, если главная часть содержит конечное число ( ) членов разложения, т.е. имеет вид:

Замечание 1. Пусть можно представить в виде: , тогда является нулем кратности функции , и - полюс того же порядка функции .

Замечание 2. Если , то - полюс -го порядка функции .

Пусть - полюс -го порядка функции . Вычет функции относительно ее полюса -го порядка вычисляется по формуле:

- ( residue-вычет), где

- производная -го порядка от функции .

Задача 14.а). Найти вычеты функции .

Решение. Т.к. знаменатель обращается в при - полюс второго порядка функции , полюс 1-го порядка.

Найдем вычет функции относительно ее полюса второго порядка ( ) :

(производная первого порядка, т.к. )

Найдем вычет функции относительно - полюс 1-го порядка

( ):

(производная должна быть нулевого порядка, т.е. сама функция)

Задача 14.б. Найти вычеты функции в 0 при , , .

Решение. Знаменатель обращается в 0.

Но не является полюсом первого порядка, т.к. на основании замечания 2:

.

Итого, полюсы и .

Найдем вычеты функции относительно ее полюсов первого порядка ( , , т.е. используем саму функцию при вычислении предела):

.