Понятие функции комплексного переменного
Если
каждому комплексному числу
поставлено в соответствие некоторое
комплексное число
,
то говорят, что в области
определена комплексная функция
.
Задача
6.
Дано
.
Найти
.
Решение.
Подставим в заданную функцию
значения:
,
.
(домножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю)
.
Задача
7.
Дана функция
,
где
.
Тогда
Решение.
По условию
- действительная часть числа
,
- мнимая часть.
Тогда
.
Пусть
,
а
.
Тогда функция
может быть представлена с помощью двух
действительных функций
и
,
зависящих от действительных переменных
и
:
,
где
- действительная часть функции
,
-
мнимая часть функции
.
Задача
8. Найти
действительную и мнимую часть функции
.
Решение. , тогда
.
Таким
образом
,
.
Основные элементарные функции комплексной переменной.
Показательная функция.
.
(15)
,
.
Пример.
Найти
действительную и мнимую части числа
.
Решение.
,
(в радианах).
Запишем в тригонометрической форме:
,
(напомним,
что
,
)
Тогда
,
.
Тригонометрические функции.
Используя
разложение в ряд Тейлора функций
,
,
,
найдем разложение следующих функций:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Заметим,
что
(22)
,
(домножим
числитель и знаменатель на
)
(23)
Тогда
можно вывести формулы
и
.
Пример.
Найти
действительную и мнимую часть числа
.
Решение. Воспользуемся формулами:
,
.
Тогда:
.
,
.
Гиперболические функции.
;
;
;
.
(24)
Логарифмическая функция.
(25)
Выражение
называется
главным значением логарифмической
функции и обозначается
.
Таким образом,
.
(26)
Видно,
что функция
имеет множество значений, отличающихся
друг от друга на
.
Пример.
Найти
действительную и мнимую часть числа
.
Решение.
,
т.е.
,
.
.
.
Т.к.
и
лежит в первом квадранте, т.е.
.
;
.
Общая степенная
и общая показательная
функции:
а)
,
б)
.
(27)
Обе
функции имеют множество значений,
поскольку в формулу их вычисления
входит функция
или
,
которая сама по себе имеет множество
значений.
Аналогично
определяется
.
Пример.
Найти действительную и мнимую часть
числа
.
Решение.
.
Преобразуем
;
,
,
,
.
=
.
,
.