Глава 4. Физика взрыва

§ 4.1. Основная задача взрыва

Взрыв – это процесс чрезвычайно быстрого превращения вещества на основе химической или ядерной реакций, сопровождающийся выделением большого количества энергии, следствием чего является образование области больших давлений и температур. Взаимодействие такой области с окружающей внешней средой приводит к формированию специфических волновых возмущений. Границы этих возмущений – своеобразные поверхности, на которых скачком меняются гидродинамические элементы газа (жидкости) – давление, плотность, температура, скорость движения частиц либо их производные по времени и по расстоянию. Такие поверхности в газодинамике называются соответственно поверхностями сильного и слабого разрывов.

Если на поверхности сильного разрыва скачком изменяются давление, плотность, температура и нормальная составляющая вектора скорости потока газа, то она носит название нестационарной поверхности сильного разрыва. Такой поверхностью при взрыве является фронт ударной волы.

В том случае, когда давление и нормальная составляющая скорости по обе стороны поверхности разрыва одинаковы, но скачком меняются плотность и температура, говорят о стационарной поверхности сильного разрыва. Такая поверхность при взрыве обычно отделяет продукты взрыва от окружающей среды.

Основной задачей теории взрыва является изучение неустановившегося движения газа (жидкости) между двумя краевыми поверхностями – фронтом ударной волны и поверхностью, разделяющей продукты взрыва и окружающую среду. Это движение определяется системой уравнений Эйлера в частных производных. Решение задачи в общем случае связано с большими математическими трудностями (производится с помощью ЭВМ). Весте с тем, на основе физических представлений о характере процесса взрыва возможны определенные упрощения, прежде всего за счет пренебрежения объемными силами и силами вязкости (внутреннего трения).

Ниже кратко рассматриваются система уравнений газовой динамики, известные решения некоторых важных частных случаев движения, условия на краевых (граничных) поверхностях.

§ 4.2. Законы сохранения в теории взрыва. Уравнения газовой динамики Основные уравнения газовой динамики выводятся из законов сохранения массы, количества движения и энергии.

Рассмотрим закон сохранения массы. Пусть в момент времени имеется бесконечно малый объем . Поскольку при движении газа количество вещества должно оставаться неизменным, то

, (4.1)

где и - плотность газа для моментов времени и .

Взяв полную производную по времени, получаем

или

Величина представляет собой скорость относительного объемного расширения газа и равна расхождению (дивергенции) скорости в рассматриваемой точке. Следовательно, .

Так как , данное уравнение (используя соотношение векторного анализа ), можно представить в виде

(4.2)

Уравнение (4.2) называется уравнением неразрывности.

Рассмотрим уравнение, характеризующее закон сохранения количества движения. По аналогии с выводом уравнения неразрывности выделим некоторый элементарный объем ( ). Со стороны газа на этот объем по его поверхности ( ) действует давление . Сила, действующая на поверхность ( ), определяется интегралом . Преобразуя поверхностный интеграл в объемный, находим

Кроме поверхностных сил, на объем ( ) в общем случае могут действовать массовые силы (например, сила тяжести и др.). Пусть - массовая сила, отнесенная к единице массы. Тогда на выделенный объем действует массовая сила . Согласно принципу Даламбера в любой момент времени все силы, действующие на массу , включая силы инерции , должны находиться в равновесии.

(4.3)

Вследствие произвольности объема ( ) интеграл (4.3) равен нулю, если равно нулю подинтегральное выражение

В предыдущем параграфе отмечалось, что во многих задачах, связанных со взрывом, массовой силой можно пренебречь.

Производная может быть представлена как сумма производной скорости по времени и так называемой конвективной производной , характеризующей изменение скорости в связи с переходом рассматриваемой частицы из одной точки пространства в другую.

Таким образом

(4.4)

Уравнение (4.4) – уравнение движения, известное как уравнение Эйлера.

Рассмотрим уравнение, характеризующее закон сохранения энергии. При выводе этого уравнения целесообразно опираться на 1-ый закон термодинамики

, (4.5)

где - внутренняя энергия, - энтропия, - температура.

Или в дифференциальной форме

Для адиабатического процесса (с учетом допущения о пренебрежении силами вязкости) , следовательно, . Поскольку , искомое уравнение энергии имеет вид

(4.6)

Дополнив (4.2), (4.4), (4.6) уравнением состояния

, (4.7)

приходят к замкнутой системе уравнений для определения скорости, давления, плотности и энтропии, характеризующих при заданных начальных и граничных условиях состояния газа, как функцию координат и времени.

Для определения температуры среды необходимо знать уравнение состояния в виде или .

В прямоугольной системе координат уравнения газовой динамики принимают вид:

(4.8)

Здесь первые три уравнения – это уравнения движения, четвертое – уравнение неразрывности, пятое и шестое – уравнение энергии и уравнение состояния соответственно.

Как отмечалось в § 4.1, решение системы уравнений (4.8) встречает большие математические трудности.

В случае одномерного адиабатического движения идеального газа, т. е., когда все параметры среды зависят от одной геометрической координаты и времени, а уравнение состояния имеет вид (1.6) или (1.13), т. е. или , система уравнений газовой динамики упрощается:

(4.9)

где =1,2,3 для движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией соответственно.

Системой уравнений (4.9) пользуются при решении целого ряда задач, связанных со взрывами.