§ 1.3 Законы термодинамики и вероятность
Процессы, изучаемые термодинамикой, рассматриваются также статистической физикой. Это рассмотрение приводит к расширению представлений о закономерностях природных процессов. Например, установлено, что процессы, невозможные по второму закону термодинамики, как то, уменьшение энтропии замкнутой системы вследствие перехода теплоты от холодного тела к нагретому, в статистической физике не являются принципиально невозможными, а только очень мало вероятными.
В теории вероятности используется понятие математической вероятности события:
,
(1.16)
под которой понимается предел отношения числа «n» появлений ожидаемого события к числу опытов «N» при неограниченном возрастании этого числа.
Связь второго закона термодинамики с вероятностью установлена Л.Больцманом, постулировавшим, что энтропия пропорциональна логарифму вероятности состояния [5]:
,
(1.17)
где
Дж/град – постоянная Больцмана,
- термодинами-ческая вероятность.
Термодинамическая вероятность, или вероятность состояния, - это специальный термин, обозначающий число микросостояний, то есть число распределений молекул по энергиям и по пространству, которыми может осуществляться данное макросостояние системы. Число распределений N частиц по m состояниям, то есть термодинамическая вероятность, определяется по соотношению:
,
(1.18)
где
- число частиц в одном состоянии (например,
условно в первой группе),
- число частиц в другом состоянии и т.
д. Оговорка «условно» имеет тот смысл,
что под первой (или второй) группой может
подразумеваться любое из состояний.
Например, три частицы имеющие номера
1,2,3 могут быть распределены по двум
группам следующим образом: а) 1 и 2,3; 2 и
1,3; 3 и 1,2, б)2,3 и 1; 1,3 и 2; 1,2 и 3. Считается,
что распределения а) и б) одинаковые, то
есть три частицы могут быть распределены
по двум группам не шестью, а тремя
способами.
Пусть общее число частиц шесть, каждая из которых имеет свой номер (от 1 до 6) и пусть число состояний три. Вычислим значение величины , когда, например:
а)
,
;б)
;в)
г)
;
д)
;
е)
,
ж)
Согласно соотношению (1.18) получаем:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Видно, что наибольшее значение соответствует равномерному распределению частиц. Следовательно, наибольшее значение энтропии, рассматриваемое по соотношению (1.17), отвечает состоянию равновесия изолированной системы. На основании этого энтропию рассматривают ещё и как меру близости изолированной системы к состоянию равновесия.
Философские аспекты данного положения здесь не рассматриваются, так как они выходят за рамки настоящей работы.
В предыдущем параграфе отмечалось, что второй закон термодинамики определяет направление течения и характер процессов, происходящих в природе. В статистической физике установлено, что отношение математических вероятностей двух состояний системы равно отношению их термодинамических вероятностей.
Следуя
рекомендациям [5], рассмотрим следующий
пример. Пользуясь соотношением (1.17),
оценим по изменению энтропии двух тел,
находящихся при температурах 301К и 300К,
возможность перехода теплоты, то есть
тепловой энергии, 1Дж от более нагретого
тела к менее нагретому, а затем возможность
перехода такого же количества теплоты
от менее нагретого тела к более нагретому.
Обозначим термодинамическую вероятность
пребывания тела при Т=301К через
,
при Т=300К через
.
Тогда в первом случае
Откуда
Во втором случае
Откуда
Видно,
что на
случаев перехода 1Дж теплоты от тела с
температурой 301К к телу с температурой
300К может произойти один случай перехода
такого же количества теплоты от тела с
температурой 300К к телу с температурой
301К. Число
очень большое. Это означает, что в обычных
условиях имеет место передача тепла от
горячего тела к холодному; переход тепла
от холодного тела к горячему, хотя в
отдельных случаях и возможен, но
чрезвычайно маловероятен.
Остановимся
на возможности уменьшения энтропии
замкнутой системы. Рассмотрим пример
передачи очень малого количества
теплоты, например,
Дж
при тех же температурах тел
К
и
К.
Расчеты показывают, что в этом случае
отношение термодинамических вероятностей
и
.
Результат неожиданный: примерно в одной
трети возможных случаев передачи такого
количества теплоты оно будет происходить
в направлении запрещенном вторым законом
термодинамики. Можно дать следующее
объяснение этому результату.
Количество теплоты Дж – это энергия, которой могут обладать отдельные молекулы при температуре ~1000К, а к отдельным молекулам и к небольшим группам молекул ни статистические, ни термодинамические методы неприменимы.
Следовательно, в изолированной системе, в отдельных случаях, возможны процессы, приводящие не к увеличению, а к уменьшению энтропии. Однако вероятность таких процессов в обычных земных условиях чрезвычайно мала. Вместе с тем, в других, пока недостаточно изученных условиях, которые могут иметь место во Вселенной, вероятность таких событий может быть выше. Своеобразным подтверждением этому является возникновение горячих звёзд в холодных туманностях.