3.10. Операції над випадковими величинами.

Над випадковими величинами можна проводити такі ж само операції, як і над випадковими подіями. Проілюструємо їх на прикладі дискретних випадкових величин. Нехай задано випадкові величини Х і У своїми законами розподілу.

Х	х₁	х₂
Р	р₁	р₂

Y	y₁	y₂
Q	q₁	q₂

Об'єднанням випадкових величин Х і У будемо розуміти випадкову

величину Z=Х , можливі значення якої дорівнюють сумам всіх можливих доданків х_і+ у_і,, а ймовірності Х для незалежних величин Х і У — добутку ймовірностей p_iq_i, для залежних величин — добуткам імовірностей однієї з них на умовну ймовірність другої

Зауважимо, що при розрахунках деякі суми можливих значень можуть виявитися однаковими. Тоді таке можливе значення z записують один раз, ймовірність якого дорівнює сумі ймовірностей однакових значень.

Перетином незалежних випадкових величин Х і У будемо розуміти випадкову величину Z=Х , можливі значення якої дорівнюють добуткам всіх можливих значень Х і Y – x_i*y_j, ймовірності яких також перемножуються p_i*q_j.

Запишемо закони розподілу випадкових величин і

за законами заданими вище таблицями .

	х₁+у₁	х₁+у₂	х₂+у₁	х₂+у₂
р	p₁∙q₁	p₁∙q₂	p₂∙q₁	p₂∙q₂

X Y	х₁∙у₁	х₁∙у₂	х₂∙у₁	х₂∙у₂
q	p₁∙q₁	p₁∙q₂	p₂∙q₁	p₂∙q₂

Якщо кожному можливому значенню величини Х відповідає одне можливе значення випадкової величини У, то У називають функцією випадкового аргументу Х і записують у вигляді У= (х).

Для дискретної випадкової величини X, як і при операціях об'єднання та перетину, потрібно пам'ятати, що якщо є однакові можливі значення (х), то їх записуємо один раз, а відповідні ймовірності додаються.

Нехай аргумент Х— неперервна випадкова величина. У цьому випадку доводиться, що якщо у = (х) — диференційована строго монотонно зростаюча або строго монотонно спадаюча функція, яка має обернену функцію х= (у), то щільність розподілу q(у) випадкової величини У знаходиться за допомогою рівності

q(y) = f , (46)

f(x)— щільність розподілу аргументу X.

Приклад 26. Випадкові величини Х і У задані такими розподілами:

Х	-1	2
Р	0,4	0,6

Y	0	5
Q	0,5	0,5

Записати закони розподілів об'єднання та перетину Х і У.

•

	-1+0	-1+5	2+0	2+5
Р	0,4∙0,5	0,4∙0,5	0,6∙0,5	0,6∙0,5

Виконавши дії в попередній таблиці одержимо такий розподіл:

	-1	2	4	7
Р	0,2	0,3	0,2	0,3

Аналогічно для перетину X і У:

Х У	-1∙0	-1∙5	2∙0	2∙5
Р	0,4∙0,5	0,4∙0,5	0,6∙0,5	0,6∙0,5

або:

Х У	-5	0	10
Р	0,2	0,5	0,3

Приклад 27. Дискретна випадкова величина Х задана законом

розподілу:

Х	-1	1	5
р	0,3	0,4	0,3

Знайти розподіл функції У = X².

• Формально піднесемо можливі значення х до квадрату. Тоді, оскільки значення х²₁ і х²₂ збігаються, рівні 1 і зустрічаються два рази то запишемо їх один раз з ймовірністю 0,3 + 0,4 == 0,7. Шуканий розподіл має вигляд: