Міністерство аграрної політики України

ЖИТОМИРСЬКИЙ АГРОТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ

З «ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ»

Номінація: навчально-методичний матеріал для забезпечення самостійної роботи студентів з дисципліни «Теорія ймовірності та математична статистика»

2006

Автор: Можаровський Сергій Володимирович, викладач Житомирського агротехнічного коледжу, спеціаліст II категорії.

Рецензенти: М.Г.Шумко (викладач ЖДУ ім.І.Я.Франко),

Т.І. Бондарчук (викладач ЖАТК, спеціаліст вищої категорії), М.М.Кухарець (пошукач ДАУ),

С.В.Чирчик (кандидат фізико-математичних наук).

Анотація:

4

ЗМІСТ

1. Навчальна програма з теорії ймовірності 4

1.1. Основні поняття та формули теорії ймовірності . . . . . . . . . . . 4

1.2. Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі . . . . . . . . 4

1.3. Випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.4. Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . . .4

1.5. Закони великих чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.6. Випадкові процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Вказівки до самостійного виконання контрольних завдань з

теорії ймовірності 5

2.1. Короткі рекомендації, щодо оформлення розв’язку задачі . . . . . 5

2.2. Приклад розв’язку задачі з теорії ймовірності . . . . . . . . . . . . 6

3. Основні означення, закони, формули і приклади розв’язків задач з

теорії ймовірності 7

3.1. Події, класифікація та операції над ними . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Елементи комбінаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3. Поняття ймовірності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4. Залежні та незалежні події . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.5. Формули повної ймовірності та Байєса . . . . . . . . . . . . . . . .13

3.6. Формула Бернуллі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7. Наближені формули обчислення ймовірностей . . . . . . . . . . . 15

3.8. Дискретні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.9. Неперервні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.10. Операції над випадковими величинами . . . . . . . . . . . . . . .25

3.11. Числові характеристики випадкових величин . . . . . . . . . . . 26

3.12. Двовимірні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.13. Нерівність Чебишева, теорема Чебишева та Бернуллі . . . . . . .34

3.14. Випадкові процеси. Марковські процеси . . . . . . . . . . . . . .37

4. Таблиця варіантів та контрольні завдання . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6. Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

1. Навчальна програма з теорії ймовірності

1.1. Основні поняття та формули теорії ймовірності

Поняття «випробування» та «подія». Класифікація подій.

Геометрична інтерпретація подій за допомогою діаграм Венна.

Операції над подіями.

Перестановки. Розміщення. Комбінації.

Класичне означення ймовірності. Геометрична ймовірність.

Відносна частота та статистичне означення ймовірності.

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Ймовірність появи події

принаймні один раз при n незалежних випробуваннях.

Обчислення ймовірностей настання складних подій.

Формули повної ймовірності. Формула Байєса.

1.2. Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі

Формула Бернуллі. Найбільш ймовірне число настання подій.

Наближені формули обчислення ймовірностей. Формула Пуассона.

Локальна та інтегральна формули Мавра-Лапласа.

Формула обчислення ймовірності відхилення відносної частоти від заданої ймовірності в незалежних випробуваннях.

1.3. Випадкові величини

Класифікація випадкових величин. Закони розподілу дискретних випадкових величин. Приклади дискретних випадкових величин. Біноміальний закон. Закон Пуассона. Гіпергеометричний закон.

Функції розподілу неперервних випадкових величин та їх властивості.

Інтегральна функція розподілу. Емпірична функція розподілу.

Диференціальна функція розподілу.

Приклади неперервних випадкових величин. Рівномірний розподіл.

Показниковий розподіл. Нормальний розподіл. Операції над випадковими величинами. Геометричне зображення випадкових величин.

1.4. Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Математичне сподівання. Моменти та інші числові характеристики випадкових величин. Дисперсія. Стандартне середнє квадратичне відхилення. Нормальний закон розподілу та його характеристики. Використання випадкових величин при обчисленні характеристик ризику.

Двовимірні випадкові величини. Числові характеристики двовимірних випадкових величин. Коефіцієнти варіації та кореляції. Функції розподілу двовимірних випадкових величин.

1.5. Закони великих чисел

Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі.

Теорема Ляпунова.

1.6. Випадкові процеси

Випадкові процеси. Марковські процеси. Рівняння Колмогорова.

2. Вказівки до самостійного виконання контрольних завдань з

теорії ймовірності

2.1. Короткі рекомендації, щодо оформлення розв’язку задачі

Кожна задача повинна бути оформлена акуратно і включати всі необхідні пояснення, що демонструють глибину розуміння студентом відповідного розділу теорії ймовірності.

При розв’язку задачі слід дотримуватись такого плану:

1. Розв’язок кожної задачі слід розпочинати з нової сторінки. Для зауважень викладача після розв’язку задачі необхідно залишити вільну сторінку.

2. Умови задач вносяться в текст контрольної роботи без скорочень.

3. У тексті контрольної роботи, у випадках необхідності, приводяться пояснюючі рисунки та діаграми.

4. Для розв’язку задачі виписуються основні формули теорії ймовірності, пояснюються всі символи, що ходять у формулу.

5. На початку розв’язку чітко позначити події та гіпотези, якщо це потрібно.

6. Значення обчисленої ймовірності округлювати до 0,0001. При необхідності точність можна і збільшувати.

7. Зробити оцінку, де це можливо, правильності отриманого результату. Наприклад, ймовірність не може бути більшою одиниці.

8. У кінці кожної задачі потрібно написати Відповідь. Привести символьне та розраховане числове значення.