2. Расчет и построение частотных характеристик аналогового фильтра

Передаточной функцией называется отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе цепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на входе цепи. В общем виде комплексная передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию, в которой числитель и знаменатель представляют собой комплексные полиномы. Частотные характеристики цепи полностью определяются зависимостями модуля и аргумента комплексного коэффициента передачи от частоты.

Рисунок 2.2 – Схема аналогового фильтра

Найдём передаточную функцию цепи, применив операторный метод расчёта, т. е. получим операторное изображение коэффициента передачи, от которого легко получить зависимость передаточной функции от частоты.

Передаточная функция цепи рассчитывается по следующей формуле:

.

Так как через и не может протекать ток, то мы можем ими пренебречь. Найдем напряжение на выходе цепи, для этого найдем токи и .

; .

Подставляя значения параметров, получим:

.

Составим уравнение выходного напряжения цепи, пользуясь вторым законом Кирхгофа. Обходя контур против часовой стрелки (рисунок 2.2), записываем падения напряжения на и с положительным знаком, если их направление совпадает с направлением обхода, в противном случае с отрицательным знаком.

;

.

Расчет передаточной функции цепи фильтра :

.

От операторного изображения коэффициента передачи исследуемой цепи перейдём к комплексному коэффициенту передачи , заменив в полученном выражении операторную переменную на множитель :

.

Найдём выражения модуля и фазы коэффициента передачи, предварительно осуществив нормировку :

;

.

По полученным формулам построим зависимости модуля коэффициента передачи и его фазы от частоты для аналогового фильтра-прототипа.

Рисунок 2.3 – АЧХ аналогового фильтра

Рисунок 2.4 – ФЧХ аналогового фильтра

Из частотных характеристик видно, что наш фильтр является фильтром верхних частот (ФВЧ).

3. Расчет и построение временных характеристик аналогового фильтра

Временными характеристиками цепи называются откликами на типовые составляющие исходного сигнала.

Переходная характеристика цепи - это отклик цепи с нулевыми начальными условиями на воздействие единичной функции (функции Хевисайда). Переходная характеристика определяется из операторной передаточной функции путем её деления на оператор , и нахождения оригинала от получившегося изображения с помощью обратного преобразования Лапласа через вычеты.

Импульсная характеристика цепи – это отклик цепи на воздействие дельта-функции . – бесконечно короткий по длительности и бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Импульсная характеристика определяется путем нахождения вычетов от передаточной функции цепи.

Временные характеристики цепи будем искать также операторным методом. Для этого нужно найти операторное изображение входного сигнала, умножить его на коэффициент передачи в операторной форме и от полученного выражения найти оригинал, т. е зная коэффициент передачи цепи, мы можем найти отклик на любое воздействие.

Нахождение импульсной характеристики сводится к нахождению реакции цепи на дельта-функцию. Известно, что для дельта-функции изображением является 1. Применяя обратное преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику.

.

Выделим целую часть для передаточной функции цепи, так как степени старших коэффициентов в числителе и в знаменателе равны:

.

Найдем особые точки передаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.

; .

Имеем всего одну особую точку, теперь берем вычет в этой особой точке.

.

.

Выражение для импульсной характеристики запишется следующим образом:

.

Аналогично найдем переходную характеристику цепи, зная, что для функции Хевисайда изображением является функция .

;

; , ;

;

;

.

Переходная и импульсная характеристики связаны между собой, так же как и входные воздействия :

;

;

.

Проверим выполнение предельных соотношений между частотными и временными характеристиками цепи, т.е. выполнение следующих условий:

.

Подставляем в систему конкретные выражения для характеристик цепей.

.

Как видим, условия выполняются, что говорит о правильности найденных формул.

Запишем конечные формулы для временных характеристик, учитывая нормировку :

;

.

По вышеуказанным формулам построим графики этих функций.

Рисунок 2.5 – Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Рисунок 2.6 – Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Временные характеристики существуют только при , так как отклики не могут опережать воздействия.

Наша цепь является дифференцирующей, поэтому переходная характеристика ведет себя так. Дифференцирующая цепь заостряет переходный процесс и пропускает передний фронт. За «бросок» отвечают прошедшие высокие частоты, а за завал – не прошедшие низкие частоты.

Переходная характеристика при равна:

.