Расчет и построение спектра коэффициентов комплексного ряда фурье
Рядом Фурье называется разложение аналогового сигнала на сумму гармонических функций с разными амплитудами и начальными фазами. Амплитуды составляющих гармонических функций называются коэффициентами комплексного ряда Фурье.
Сигнал, изображенный на рисунке 1.1, представляет собой знакочередующуюся последовательность импульсов прямоугольной формы, поэтому постоянная составляющая равна нулю:
.
Путем дискретизации спектральной плотности нашего сигнала определим комплексные коэффициенты Фурье:
;
,
где
- циклическая частота сигнала.
Запишем расчетную формулу для комплексных коэффициентов Фурье:
,
где
– скважность.
Таблица 1 – Коэффициенты комплексного ряда Фурье
n |
Алгебраическое представление
|
Модуль
|
Аргумент
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
– 0.367 + j0.414 |
0.553 |
2.296 |
2 |
– 0.345 +j0.042 |
0.347 |
3.021 |
3 |
0.161 + j0.111 |
0.196 |
0.604 |
4 |
0.071 + j0.287 |
0.295 |
1.329 |
5 |
– 0.019 + j0.036 |
0.04 |
2.054 |
6 |
0.039 – j0.015 |
0.042 |
-0.362 |
7 |
– 0.033 – j0.013 |
0.036 |
-2.779 |
8 |
0.012 + j0.022 |
0.025 |
1.087 |
9 |
– 0.031 + j0.127 |
0.131 |
1.812 |
10 |
– 0.048 + j0.033 |
0.059 |
2.537 |
11 |
0.063 + j0.00761 |
0.063 |
0.121 |
12 |
0.031 + j0.035 |
0.046 |
0.846 |
13 |
0 |
0 |
-1.571 |
14 |
– 0.026 + j0.03 |
0.04 |
2.296 |
15 |
– 0.046 + j0.00558 |
0.046 |
3.021 |
16 |
0.03 + j0.021 |
0.037 |
0.604 |
17 |
0.017 + j0.067 |
0.07 |
1.329 |
18 |
– 0.00522 + j0.00994 |
0.011 |
2.054 |
19 |
0.012 – j0.00468 |
0.013 |
-0.362 |
20 |
– 0.012 – j0.00445 |
0.013 |
-2.779 |
21 |
0.00447 + j0.00852 |
0.00962 |
1.087 |
22 |
– 0.013 + j0.052 |
0.054 |
1.812 |
23 |
– 0.021 + j0.015 |
0.026 |
2.537 |
24 |
0.029 + j0.00349 |
0.029 |
0.121 |
25 |
0.015 + j0.017 |
0.022 |
0.846 |
26 |
0 |
0 |
-1.571 |
Построим спектральные характеристики периодического сигнала. Под спектральными характеристиками понимают распределение амплитуд и начальных фаз по частотам и называют спектрами амплитуд и фаз соответственно.
Рисунок 1.5 – Спектр коэффициентов комплексного ряда Фурье
Рисунок 1.6 – Спектр фаз коэффициентов комплексного ряда Фурье
Спектр фаз
коэффициентов комплексного ряда Фурье
имеет большую линейную составляющую,
которая мешает увидеть значимую часть
фазочастотной характеристики (ФЧХ). Для
компенсации линейной составляющей ФЧХ
умножим комплексные
коэффициенты Фурье
на
,
тогда спектр фаз примет, следующий вид:
Рисунок 1.7 – Спектр фаз коэффициентов комплексного ряда Фурье с компенсированной линейной составляющей