Решение

Средний возраст оборудования определяется x_ср=∑(x_i*f_i)/∑f_i = 1370/100=13,7 года.

Мода (Мо) — значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальные интервал (например, по данным таблицы наибольшая частота f_max= 30 %, а модальный интервал Мо=10-15 лет), а конкретное значение моды в модальном интервале определяется:

,

где x_o и h –соответственно нижняя граница и величина модального интервала (например, по данным таблицы x_o =10 лет, а h=(20-15)=5 лет);

Рис. 1. Гистограмма и полигон

f_M0 – частота (частность) модального интервала (по данным таблицы f_M0 =30%, f_Mo-1=19% f_Mo+1=24% соответственно значение моды: Mo=10+5(30-19)/[(30-19)+(30-24)]=13.24 года).

Медиана (Ме) — значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.

Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы: N=(n+1)/2 (в нашем случае N=(100+1)/2=50.5%, см. рис. 2). Затем по накопленным (кумулятивным) частотам S_i дискретного ряда определяется медиальный интервал (в нашем случае интервал совпадает с модальным интервалом (такое совпадение не всегда обязательно, но встречается часто) это 10 – 15 лет поскольку ближайшая большая 50% накопленная частота S_i = 59%).

В дискретном ряду распределения медианы находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального (вариационного) ряда распределения конкретного значение медианы вычисляется по формуле:

где x_o и h –соответственно нижняя граница и величина медианного интервала (по данным таблицы x_o =10 лет, а h=(15-10)=5 лет);

f_Me – частота (частность) медианного интервала (по данным таблицы f_Me=30%);

S_Me-1 – накопленная частота предмедиального интервала (S_Me-1= 29%).

Значение медианы для примера из таблицы Ме=10+5(50-29)/30=13,5 года. Откуда можно заключить, что половина всего оборудование имеет возраст не более 13,5 года или половина всего оборудования имеет возраст больше 13,5 лет.

В симетричных рядах распределение значения моды и медианы совпадают со вредней величиной , а в умеренно асиметричных рядах они соотносятся: .

Кроме медианы в анализе закономерностей распределения используются также квартели и децели, при расчете которых в формуле расчета медиального значения Ме множитель ½ заменяется на 0,25 и 0,1 соответственно.

Рис. 2. Кумулята

Показатели степени вариации и способы их расчета. Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные характеристики.

Наиболее поверхностная оценка рассеяния (вариации) совокупности распределения определяется с помощью вариационного размаха R, который показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака: R=x_max-x_min.

Среднее линейное отклонение является обобщающей мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. Она дает абсолютную меру вариации.

Для интервальных (вариационных) рядов взвешенная средняя определяется:

Для приведенного выше примера - =531,6/100=5,32 лет.

Дисперсия ()² — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, а также для проверки статистических гипотез.

Для приведенного выше примера - =4256/100=42,56.

Среднее квадратическое отклонение -  представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней, т.е. оно исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии и измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак.

Для приведенного выше примера - =6 лет.

Коэффициент осцилляции:

Для приведенного выше примера - =182,48%.

Линейный коэффициент вариации:

Для приведенного выше примера - = 36,5%.

Коэффициент вариации:

Для приведенного выше примера = 43,8 %.

Показатели асимметрии и эксцесса. Симметричным называется распределение у которого частоты равноотстоящие от моды равны между собой, следовательно выполняется соотношение =Мо=Ме. Соответственно наиболее простой мерой асимметрии является (x_ср-Мо).

Коэффициент асимметрии Пирсона:

При К_а>0 скошенность ряда правосторонняя (т.е. >Mo), при К_а<0 скошенность ряда левосторонняя (т.е. <Mo). В нашем примере К_а=0,08 и следовательно ряд характеризуется правосторонней незначительной асимметрией.

Нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка. Часто используется в прикладных расчетах. Коэффициент не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, так как является отвлеченной величиной и определяется по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка и определяется:

Для случая из таблицы 4 нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка будет равен А₃=412,64/216 =1,91.

Нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка. Используется для определения «крутизны» («заостренности») графика распределения частот. Определяется по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка и определяется:

При нормальном распределении А₄=3. Для измерении асимметрии эталоном служит симметричное (нормальное) распределение, для которого А₃=0.

Для случая из таблицы 4 нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка будет равен А₄=3,42.

Показатель эксцесса распределения:

.

При Е_k>0 распределение островершинное, при Е_k <0 – плосковершинное.

В нашем примере Е_k=(3,42-3)=0,42 и следовательно ряд островершинный.

Задание

1. Рассчитать:

• показатели центра распределения (среднюю, моду и медиану);

• показатели степени вариации (вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации);

• Показатели асимметрии и эксцесса (коэффициент асимметрии Пирсона, нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка, нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка, показатель эксцесса распределения).

2. Представьте интервальные вариационные ряды в виде:

• гистограммы;

• полигона;

• кумуляты.

3. Сделайте выводы:

• об однородности совокупности;

• типичности средней арифметической.

• о асимметрии распределения.