§6. Модели надежности
Надежность
устройства (системы, элемента) - это
вероятность его безотказной работы за
время
.
Задача о дублировании.
приборов работают
независимо и дублируют друг друга. Найти
вероятность прохождения сигнала в
системе, если надежность каждого прибора
известна (
).
Решение.
Сигнал
проходит в системе, если он проходит по
крайней мере по одному из приборов
(обозначим как событие
).
События, которые отвечают прохождению
сигнала по первому, второму и т.д. приборам
обозначим соответственно как
. По определению суммы событий имеем
.
События
совместны, так как сигнал может проходить
и по одному прибору, и по двум, и по трем
и т.д. Использование теоремы 3
для определения вероятности А приводит
в таком случае к довольно сложным
расчетам. Поэтому удобнее перейти к
противоположному событию - сигнал
не проходит, то есть не работают
все приборы (событие
).
По определению произведения событий
.
События, которые являются множителями,
независимы по условию задачи, то есть
используя правило умножения
имеем
.
В свою очередь по теореме 2
,
откуда получаем конечную формулу для
вероятности А, учитывая, что по той же
теореме
для любого i-го прибора.
.
Приведенная выше задача имеет широкое применение в самых разнообразных областях человеческой деятельности. Поэтому мы обобщим ее решение следующей теоремой.
Теорема
4. Вероятность хотя бы одного из событий
,
независимых в совокупности, равно
разности между единицей и произведением
противоположных событий
.
Обозначим
,
P(A) - вероятность того, что появится хотя бы одно из событий имеем формулу
Следствие.
Если
имеют одинаковую вероятность p,
соответственно
- q, то
Замечание. Независимыми в совокупности будем считать события, которые попарно независимы и каждое из которых независимо с тремя, четырьмя, …n-1 событиями из тех, которые рассматриваются в испытании.
Задача об инстанциях.
Несколько
руководителей последовательно подчинены
один другому. Каждый готов независимо
утвердить некоторый проект с вероятностью
. Какова вероятность того, что проект
будет утвержден при последовательном
прохождении инстанций?
Решение.
События, которые
отвечают прохождению первой, второй и
т.д. инстанций обозначим соответственно
как
,
прохождение всех инстанций, как А. По
определению произведения событий имеем
Поскольку множители по условию задачи
независимы, по правилу умножения
имеем:
Например, если вероятности для всех руководителей одинаковы и равны p, то
При p=0.9
и если n=5 Р
0.53; а при n=10 Р
0.35.(!!)
Совет: ищите дорогу с минимумом инстанций!
Задача о количестве дублеров (обратная к задаче о дублировании).
приборов в системе
работают независимо и дублируют друг
друга. Надежность каждого прибора
одинакова и известна (
).
Вероятность прохождения сигнала в
системе задана как порог надежности Q,
ниже которого ее снижение недопустимо.
Нужно найти число
(количество
дублеров), которое обеспечит заданный
порог надежности.
Решение
По
следствию к теореме 4 имеем:
,
где А - вероятность прохождения сигнала
в системе,
- вероятность отказа для любого прибора
из числа дублеров. По условию задачи
.
Из последнего неравенства и находим n.
Численный пример (задача планирования семьи).
Считая вероятность рождения девочки и мальчика одинаковой, определить, сколько детей нужно родить, чтобы с вероятностью не меньше 0.9 была хотя бы одна девочка.
Решение.
По условию задачи p=q=1/2. По результатам предыдущего решения находим:
То есть нужно иметь не меньше четырех детей.
Общие замечания.
Рассмотренные в этом параграфе задачи и теоремы позволяют анализировать системы разнообразного происхождения с точки зрения их надежности. На рис. 1, 2 представленны типичные структурные элементы для построения систем с параллельным и последовательным соединением приборов любой сложности. Из приведенных задач понятно, что слово 'приборы' используется условно для определения объектов в системе.
Рис. 1
B
C
B
Рис. 2
C
Типичный подход к решению задач с подобными параллельно-последовательными, то есть смешанными схемами состоит в следующем.
В случае структурного элемента на рис. 1 выделяем блок приборов B и C, которые соединены последовательно и надежность которых рассчитывается по результатам задачи об инстанциях. Когда надежность относительно блока 1 определена, замечаем, что блок 1 и элемент А соединены параллельно, то есть к ним можно применить теорему 4, с помощью которой и определяется полная надежность системы.
Для схемы на рис. 2 на первых порах выделяем блок 2, где общая надежность для приборов B и C рассчитывается по теореме 4. Потом к блоку 2 и элементу A применяем результаты задачи об инстанциях, которые и определяет конечную надежность системы.