Комплексная мощность двухполюсника

где – сопряженный комплекс тока;

– полная мощность, [ВА];

– активная мощность, [Вт];

– реактивная мощность, [ВАР];

Треугольник сопротивлений, треугольник проводимостей и треугольник мощностей

Модуль комплексного сопротивления:

.

Следовательно, z можно представить, как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 3а) - треугольника сопротивлений, один катет которого равен r а другой х. При этом

.

Аналогичным образом модуль комплексной проводимости

Следовательно, у – гипотенуза прямоугольного треугольника (рис. 3б), катетами которого являются активная g и реактивная b проводимости,

Модуль полной мощности

является гипотенузой треугольника мощностей (рис. 3в), а активная Р и реактивная Q мощности его катетами,

2.4 Двухполюсник в цепи переменного тока. Расчет цепей синусоидального тока при последовательном соединении элементов цепи

Пример

Ом,  мГн,  мкФ,  В,  Гц.
Определить: I, , , , P.

Решение:

Находим комплексное сопротивление цепи.

 

 Ом;

;

;

.

Определяем ток в цепи по закону Ома:

.

Ток отстает от напряжения на угол .

Вычислим напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе:

В цепи расходуется мощность:

Построим векторную диаграмму напряжений и тока (рис. 4):

Пример

Мгновенные значения тока и напряжения на входе приемника определяются уравнениями:

Определить характер и величину сопротивления приемника.

Решение:

.

Характер сопротивления приёмника активно-емкостной.

Расчет цепей синусоидального тока при параллельном и смешанном соединении элементов

Пример

По известным показаниям измерительных приборов  В,  А,
А,  А определить 1) ток I в неразветвленной части цепи и сопротивления ; 2) параметры эквивалентной цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение:

Построим векторную диаграмму и найдем по ней общий ток.

Найдём сопротивления ветвей и модуль полного сопротивления цепи:

Рассчитываем проводимости ветвей:

Эквивалентные активная, реактивная и полная проводимости:

Эквивалентные сопротивления последовательной цепи:

2.5 Резонансные режимы двухполюсника

Резонанс – это такой режим электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором общее входное сопротивление или входная проводимость цепи будут чисто активным. В этом режиме цепь потребляет только активную мощность и входные ток и напряжение совпадают по фазе. Различают резонансы напряжений, токов в сложной цепи.

Резонанс напряжений – это резонанс при последовательном соединении участков цепи с индуктивным и емкостным характером (рис. 3.1).

О бщее сопротивление цепи . Исходя из определения резонанса запишем условие резонанса: или . В режиме резонанса напряжений за счет компенсации реактивных сопротивлений входное сопротивление цепи будет активным и наименьшим , следовательно, общий ток станет максимальным: .

Резонанс напряжений может быть достигнут изменением частоты, емкости или индуктивности:

• если заданы L и C, то резонансная угловая частота ;

• если заданы L и , то резонансная емкость ;

• если заданы С и , то резонансная индуктивность .

Напряжения на реактивных элементах , будут равны по модулю ( ) и могут значительно превосходить по величине приложенное напряжение. Угол между входным напряжением и током в режиме резонанса записывается в виде и равен нулю. Следовательно, реактивная мощность цепи также равна нулю, и цепь в режиме резонанса потребляет только активную мощность .

При оценке электрических цепей в их способности подавлять или передавать электрические сигналы широко используются частотные характеристики – зависимости параметров цепи от частоты - которые полностью определяют поведение цепи при ее питании от источников периодических сигналов. Различают амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) – это зависимости амплитуд или действующих значений параметров цепи от частоты и фазо-частотные (ФЧХ) – зависимости фаз от частоты. Резонансн о- частотные характеристики представлены на рис. 3.2.

Рис. 3.2

Как видно из рис. 3.2, входной ток при резонансе резко изменяет свою величину, что приводит к частотным искажениям сигнала. Чтобы эти искажения не превышали нормы, спектр сигнала не должен выходить за пределы полосы пропускания , которая определяется по уровню резонансной кривой тока . По полосе пропускания определяется качество резонансной цепи – ее добротность: . Добротность контура определяет, во сколько раз напряжение на реактивных элементах при резонансе превышает входное:

,

где - характеристическое сопротивление.

Векторная диаграмма резонанса напряжений представлена на рис. 3.3.

Пример 3.1. В контуре с добротностью Q = 1.73 (рис. 3.4) определить напряжение U_V1, если входное напряжение при резонансе 1 В.

Р ешение. В последовательном колебательном контуре при резонансе UВХ = U = UR, следовательно, UR = 1В. Добротность цепи при резонансе напряжений определяется как Q = UL/U, значит UL=QU=1.73B. Напряжение на вольтметре V1 запишется в виде

UV1 = =2 В.

Резонанс токов – это резонанс при параллельном соединении участков цепи с индуктивным и емкостным характером.

Пусть на вход цепи подано напряжение (рис. 3.5), тогда токи в параллельных ветвях определятся по закону Ома:

; ; ,

где ; ; - проводимости ветвей (1/Ом = См).

Общий ток по первому закону Кирхгофа запишется в виде

,

где - комплекс полной проводимости цепи.

И сходя из общего определения резонанса, запишем условие резонанса токов: или . В виду того, что реактивные проводимости в режиме резонанса компенсируют друг друга, то результирующая проводимость будет минимальна. Следовательно, при неизменном приложенном напряжении входной ток будет минимальным.

Изменяя частоту при заданном входном напряжении и параметрах цепи, можно построить частотные характеристики (рис. 3.6).

П ри >> 1 токи и могут значительно превосходить общий ток. Угол между входным током и приложенным напряжением , значит, реактивная мощность в режиме резонанса токов также равна нулю, а активная .

Резонанс токов, как и резонанс напряжений, может быть достигнут изменением частоты, емкости или индуктивности. При этом резонансные величины определяются по формулам:

; ; .

Н а рис. 3.7 показана векторная диаграмма резонанса токов.

Рис. 3.7

Добротность контура в данном случае будет определять, во сколько раз токи на реактивных элементах превышают входной ток:

,

где .