2.2 Синусоидальные величины и их символическое изображение

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать гармонические токи, напряжения и ЭДС векторами на комплексной плоскости.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции в заданный момент времени, называется векторной диаграммой.

Комплексное число может быть представлено в алгебраической и показательной форме:

.

Переход из показательной формы в алгебраическую форму осуществляется по формуле Эйлера:

.

При обратном переходе: , если вещественная часть алгебраической формы положительная, то а если вещественная часть отрицательная, то

.

Комплексная синусоидальная функция представляется в виде вращающегося вектора на комплексной плоскости:

;

,

,

(при t = 0).

Мгновенное значение синусоидальной функции есть проекция вращающегося вектора на мнимую ось:

.

Обозначения:

i, u, e – мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС

I_m, U_m, E_m – комплексные амплитудные значения тока, напряжения, ЭДС

I, U, E – комплексные действующие значения тока, напряжения, ЭДС

Примеры

1.1. Дано синусоидальное напряжение .

Записать выражения для комплексного амплитудного и действующего значения.

Решение:

;

.

1.2. Комплексное действующее значение тока .

Записать выражение для мгновенных значений тока.

Решение:

;

.

2.3.Расчет линейных цепей с гармоническими источниками электрической энергии Синусоидальный ток в резистивном элементе

Если синусоидальное напряжение подвести к сопротивлению R, то через это сопротивление, пройдет ток

.

Следовательно, напряжение на зажимах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу или, как говорят, совпадают по фазе.

Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинаковую частоту, называется фазовым сдвигом. В данном случае фазовый сдвиг между напряжением и током равен нулю: .

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока. В виду того, что в рассматриваемом случае напряжение и ток совпадают по фазе, то есть всегда имеют одинаковый знак, их произведение всегда положительно (рис. 1.27).

Среднее значение мощности за период: называется активной мощностью и измеряется в ваттах (Вт).

В рассмотренном случае , то есть вся электрическая энергия, поступающая в сопротивление, преобразуется в тепло.

Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L проходит ток , тогда напряжение на индуктивности изменяется по закону

.

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол . Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения понимается разность начальных фаз напряжения и тока . Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношениями, подобными закону Ома:

; .

Величина , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина называется индуктивной проводимостью. Итак, . Если , то - индуктивное сопротивление постоянному току равно нулю.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность

где - реактивная мощность индуктивности.

Кривая мгновенной мощности, приведенная на рис. 1.28 показывает, что мощность в цепи в течение времени Т/4 положительна, то есть за этот промежуток времени энергия поступает из генератора в цепь и запасается в магнитном поле катушки. В течение второй четверти периода энергия возвращается из магнитного поля катушки в генератор. Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, и активная мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю.