Векторная алгебра Вариант 10

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a–3b)(3a–b), б) |(a–3b)(3a–b)|,

где |a|=4, |b|=2, a^b=2/3.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой BM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника ABC, если и .

4. Найти объем пирамиды ABCD, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (–3;1;4), b = (–1;5;4), c = (–1;1;6), d = (0;6;12).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=6a–2b c₂=3b–9a если a={2;–1;5} и b={–4;1;–2}.

a b C 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b A B K M D 8. В треугольнике ABC точка K делит медиану AD так, что 5|AK|=3|KC|, точка M делит сторону BC так, что 7|BM|=2|MC|. Найти вектор , если и .

Векторная алгебра Вариант 11

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+3b)(b–3a), б) |(a+3b)(b–3a)|,

где |a|=2, |b|=3, a^b=3/4.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой CM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника abc, если и .

4. Найти объем пирамиды abcd, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, a = (2;–1;1), b = (–1;2;1), c = (1;3;1), d = (–1;–2;3).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=2a+4b c₂=4b–3a если a={–9;6;3} и b={6;–4;–2}.

a b 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b D A B C K M 8. В параллелограмме ABCD точка M делит сторону CB так, что 4|CM|=5|BM|, точка K делит диагональ AC так, что 4|AK|=|KC|. Найти вектор , если и .

Векторная алгебра Вариант 12

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (4a+b)(a–3b), б) |(4a+b)(a–3b)|,

где |a|=3, |b|=4, a^b=5/3.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой AM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника ABC, если и .

4. Найти объем пирамиды ABCD, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;4;2), b = (–1;–2;–2), c = (3;5;1), d = (3;5;–1).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=4a+3b c₂=4b–3a если a={2;–14;6} и b={–3;21;–9}.

a b C 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b A B K M D 8. В треугольнике ABC точка K делит сторону AC так, что 5|AK|=3|KC|, точка M делит медиану AD так, что 4|DM|=|MA|. Найти вектор , если и .