Векторная алгебра Вариант 1

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2a–b)(3a+4b), б) |(2a–b)(3a+4b)|,

где |a|=2, |b|=3, a^b=/6.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой AM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника ABC, если и .

4. Найти объем пирамиды ABCD, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;–1;1), b = (–1;2;1), c = (1;3;1), d = (–1;–2;3).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=5a+2b c₂=4a+b если a={4;2;–8} и b={–6;–3;12}.

a b 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b D A B C K M 8. В параллелограмме ABCD точка M делит сторону CB так, что 6|CM|=|BM|, точка K делит диагональ BD так, что 2|DK|=5|KB|. Найти вектор , если и .

Векторная алгебра Вариант 2

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a–3b)(2a+b), б) |(a–3b)(2a+b)|,

где |a|=4, |b|=2, a^b=2/3.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой BM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника abc, если и .

4. Найти объем пирамиды abcd, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;4;2), b = (–1;–2;–2), c = (3;5;1), d = (3;5;–1).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=4a–2b c₂=3b–6a если a={1;–2;5} и b={–3;1;–2}.

a b C 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b A B K M D 8. В треугольнике ABC точка K делит медиану AD так, что 4|AK|=3|KC|, точка M делит сторону BC так, что 7|BM|=|MC|. Найти вектор , если и .

Векторная алгебра Вариант 3

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+2b)(b–3a), б) |(a+2b)(b–3a)|,

где |a|=2, |b|=3, a^b=/4.

2. Найти косинус угла между стороной BC и медианой CM треугольника ABC, если и .

3. Найти площадь треугольника abc, если и .

4. Найти объем пирамиды abcd, если , и .

5. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a=(2;2;3), b=(5;1;2), c=(–1;–3;–2), d=(8;0;1).

6. Коллинеарны ли векторы c₁=a–5b c₂=4b–3a если a={–9;6;3} и b={6;–4;–2}.

a b 7. По двум заданным a и b построить вектор
a b D A B C K M 8. В параллелограмме ABCD точка M делит сторону CB так, что 4|CM|=3|BM|, точка K делит диагональ AC так, что 3|AK|=|KC|. Найти вектор , если и .