1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2a–b)(3a+4b), б) |(2a–b)(3a+4b)|,

где |a|=2, |b|=3, a^b=/6.

2. Найти координаты точки M, равноудаленной от точек A(–2;1;4) и B(1;3;–1), если точка М лежит на оси Оx.

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если А(-1;-2;0), B(1;1;2), C(1;2;2), D(1;3;3).

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2;–1;1), b = (–1;2;1), c = (1;3;1), d = (–1;–2;3).

5. Определить при каких значениях a и b две прямые

(a–3)x+2y+4=0 и –4x+6y+b=0

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают.

6. Из точки A(–4;5) выходит луч света под углом =arctg4 к оси Ox и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей. Сделать чертеж.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

8. Построить кривую  = 2sin(2), заданную в полярных координатах.

9. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F₁(–6;0) и F₂(2;0) есть величина постоянная и равна p=10. Сделать чертеж.

10. Привести уравнение 16x²–9y²–64x–54y–161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Расчетно-графическая работа №2 Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вариант 29

1. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2a+3b)(b–3a), б) |(2a+3b)(b–3a)|,

где |a|=6, |b|=2, a^b=/6.

2. Найти координаты точки M, равноудаленной от точек A(1;2;–1) и B(2;2;–3), если точка М лежит на оси Оy.

3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A(-3;-2;2), B(1;1;3), C(2;1;-1), D(2;1;4).

4. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1;1;0), b = (–4;3;2), c = (–1;2;1), d = (1;–1;–1).

5. Определить при каком значении параметра t прямая:

(t²+2t–3)x+(t²–4)y+4–t=0

а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат.

6. Дана точка A(3;1) и прямая L:2x–y+3 = 0. Написать уравнения прямых L₁ и L₂ , проходящих через точку A и L₁║L, L₂L. Сделать чертеж

7. Составить каноническое уравнение прямой:

8. Построить кривую  = 2(1+sin), заданную в полярных координатах.

9. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F₁(–3;0) и F₂(7;0) есть величина постоянная и равна p=6. Сделать чертеж.

10. Привести уравнение 4x²+5y²+24x+30y+61=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.