3.40. Регрессионный анализ и примеры его применения при управлении качеством

В регрессионном анализе изучается связь между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными x_j.

Рассмотрим парную регрессию, когда независимая переменная одна. Предположим, что переменная х (как правило, неслучайная величина) принимает некоторые фиксированные значения х₁, х₂,..., х_n. Соответствующие значения зависимой переменной Y имеют разброс вследствие погрешности измерений и различных неучтенных факторов: у₁, у₂, ..., у_n. Предположим, что связь между переменными линейная (рис. 5), тогда соответствующая регрессионная модель имеет вид:

Y=β₀+β₁x+ε

где β₀и β₁— параметры линейной регрессии;

ε — случайная ошибка наблюдений.

Рис. 5. Парная линейная регрессия

Предполагается, что ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия постоянна: М[ε] = 0, D[ε] =σ².

Задача регрессионного анализа сводится к оценке параметров регрессии β₀и β₁, проверке гипотезы о значимости модели и оценке ее адекватности: достаточно ли хорошо согласуется модель с результатами наблюдений?

Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов: в качестве оценок принимаются такие значения и , которые минимизируют сумму квадратов отклонений ε_i наблюдаемых значений y_i от расчетных:

Приравнивая нулю производные по β₀и β₁, получим зависимости для оценивания параметров модели:

где

Прогнозируемое по модели значение зависимой переменной

Разности между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями называются остатками, а соответствующая сумма квадратов — остаточной суммой квадратов:

Пусть

— общая сумма квадратов; сумма квадратов, обусловленная регрессией

Тогда остаточную сумму квадратов можно вычислить, используя основное тождество дисперсионного анализа

Парная линейная регрессионная модель называется незначимой, если параметр β₁=0. Для проверки нулевой гипотезы H₀: β₁=0 используется статистика

которая при заданном уровне значимости α сравнивается с квантилью распределения Фишера F_1-α(1, n-2) с числами степеней свободы 1 и (n-2).

Если оказывается F> F_1-α(1, n-2), то нулевая гипотеза отклоняется: регрессионная модель статистически значима.

Кроме значимости, проверяется и адекватность модели. Приближенно адекватность можно проверить по диаграмме рассеяния с нанесенной на нее расчетной прямой (рис. 6).

Рис. 6. Значимость и адекватность парной линейной регрессии:

а - модель незначима; б - модель значима и адекватна;

в - модель значима, но неадекватна

Пример

Исследуется зависимость между пределом прочности прессованной детали у (МПа) и температурой при прессовании х (град.). Предполагается наличие линейной зависимости между этими показателями. Экспериментально получены следующие данные (табл. 4):

Таблица 4