Введение

Дискретная математика – область математики, занимающаяся изучением свойств дискретных структур, которые возникают как внутри математики, так и в ее приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации. Для многих задач дискретной математики средства классической математики оказываются мало приемлемыми. Это объясняется необходимостью отказа в дискретной математике от основополагающих понятий классической математики – предела и непрерывности. Вместе с задачами о существовании, имеющими общематематический характер, важное место в дискретной математике занимают задачи, связанные с алгоритмической разрешимостью и построением конкретных алгоритмов.

Цели и задачи освоения учебной дисциплины

Преподавание дисциплины «Дискретная математика» при подготовке специалиста имеет цель:

- изучение свойств объектов конечного характера, различных аспектов построения математических моделей, возникающих при исследовании информационных процессов и процессов управления в различных областях практической деятельности;

- развить логическое мышление, общий уровень математической культуры;

- сформировать компетенции обучающегося в области применения математических методов и средств при решении прикладных задач, связанных с алгоритмической разрешимостью и построением конкретных алгоритмов.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

- основные определения и теоремы из комбинаторики, теории графов и алгебры логики; иметь представление о методах дискретной математики; знать о новейших достижениях в дискретной математике;

уметь:

- строить математические модели дискретных структур;

- выбирать подходящий математический метод и алгоритм для решения сложных задач исследования информационных процессов и процессов управления;

- выработать, на основе проведенного математического анализа, практические рекомендации для решения прикладных задач;

владеть:

- навыками моделирования прикладных задач методами дискретной математики.

Методические указания студентам:

• при подготовке к практическим занятиям студентам следует использовать литературу из приведённого списка, а также руководствоваться указаниями и рекомендациями преподавателя;

• перед каждым практическим занятием студент изучает план занятия с перечнем тем и вопросов по вынесенному на семинар материалу.

Студенту рекомендуется следующая схема подготовки к практическому занятию:

• проработать конспект лекций;

• изучить решения типовых задач;

• решить заданные домашние задания;

• при затруднениях сформулировать вопросы к преподавателю.

Домашние задания необходимо выполнять к каждому практическому занятию. Сложные вопросы можно вынести на обсуждение на семинар или на индивидуальные консультации. На практических занятиях приветствуется способность на основе полученных знаний находить наиболее эффективное решение поставленных проблем.

1. Тематический план

нормативная заочная форма обучения

№	Наименование раздела, темы учебной дисциплины	Тематика практических занятий	Трудоемкость (часов)
1	2	3	4
1.	Комбинаторика	1. Размещения, сочетания, перестановки без повторений. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями. Бином Ньютона.	2
2.	Алгебра логики	2. Элементарные булевы функции. Основные эквивалентности. 3. Разложение функции по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Минимизация нормальных форм.	2 2
3.	Теория графов	4. Матрицы смежности и инцидентности для графа и орграфа. 5. Деревья. Планарные графы. Непланарность графов К5 и К3,3.	2 2
ИТОГО:			10

сокращенная заочная форма обучения (на базе СПО)

№	Наименование раздела, темы учебной дисциплины	Тематика практических занятий	Трудоемкость (часов)
1	2	3	4
1.	Комбинаторика	1. Размещения, сочетания, перестановки без повторений. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями. Бином Ньютона.	0,5
2.	Алгебра логики	2. Элементарные булевы функции. Основные эквивалентности. 3. Разложение функции по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Минимизация нормальных форм.	1 1
3.	Теория графов	4. Матрицы смежности и инцидентности для графа и орграфа. Компоненты связности графа, их число. Изоморфизм графов. 5. Деревья. Планарные графы. Непланарность графов К5 и К3,3.	1 0,5
ИТОГО:			4

2. ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ

И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Практическое занятие №1

Комбинаторика. Основные формулы

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

4. Повторения.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x_1, x_2, x_3, …, x_n.

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).