
- •Часть III электричество и магнетизм Вступление
- •1. Электростатическое поле в вакууме
- •1.1. Электрический заряд и его свойства. Закон Кулона
- •1.2. Напряженность электрического поля. Силовые линии
- •1.3. Суперпозиция электростатических полей
- •1.4. Работа сил электростатического поля.Разность потенциалов. Потенциал
- •1.5. Связь напряженности и потенциала.Градиент скалярного поля
- •1.6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса
- •1.8. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Уравнения Пуассона и Лапласа
- •2. Электрическое поле в диэлектриках
- •2.1 Диполь в электростатическом поле. Поляризация диэлектриков. Типы диэлектриков
- •2.2. Количественные характеристики поляризации диэлектрика .Поляризованность
- •2.3. Связанные заряды на поверхности диэлектрика
- •2.4. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в диэлектриках
- •2.5. Условия на границе диэлектрических сред
- •3. Проводники в электростатическом поле. Энергия электростатического поля
- •3.1. Проводники в электростатическом поле
- •3.2. Электроемкость.Конденсаторы
- •3.3. Энергия электростатического поля.Объемная плотность энергии
- •4. Постоянный электрический ток
- •4.1. Электрический ток и условия его существования
- •4.2. Сила тока, плотность тока.Уравнение непрерывности
- •4.3. Закон Ома.Сопротивление проводников
- •4.4. Основные представления классической электронной теории электропроводности металлов
- •4.5. Закон Ома для неоднородного участка цепи.Электродвижущая сила
- •5. Магнитное поле постоянного тока
- •5.1. Магнитная индукция.Закон Био-Савара-Лапласа
- •5.2. Циркуляция магнитной индукции.Закон полного тока
- •5.3. Движение заряженных частиц в магнитных и электрических полях.Эффект Холла
- •5.4. Действие магнитного поля на проводник c током и контур с током.Закон Ампера
- •5.5. Магнитный поток. Потокосцепление
- •5.6. Работа сил магнитного поля по перемещению проводника и контура с током
- •6. Электромагнитная индукция.Энергия магнитного поля.
- •6.1. Электромагнитная индукция.Основной закон электромагнитной индукции
- •6.2. Индукционный ток. Индукционный заряд.Вихревое электрическое поле
- •6.3. Самоиндукция. Индуктивность
- •6.4. Токи при размыкании и замыкании цепей
- •6.5. Энергия магнитного поля.Объемная плотность энергии
- •6.6. Взаимная индукция
- •7. Магнитное поле в веществе. Магнетики.
- •7.1. Магнитное поле в веществе
- •7.2. Описание поля в веществе.Типы магнетиков
- •7.3. Преломление линий магнитной индукции
- •7.4. Магнитные моменты атомов и молекул
- •7.5. Диамагнетизм
- •7.6. Парамагнетики в магнитном поле
- •7.7. Ферромагнетизм
- •8. Электрические колебания
- •8.1. Собственные гармонические колебания в колебательном контуре
- •8.2. Затухающие колебания в колебательном контуре
- •8.3. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре
- •9. Уравнения максвелла. Электромагнитное поле
- •9.1. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме
- •9.2. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме.Ток смещения
- •9.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
- •9.4. Дивергенция и ротор векторного поля
- •9.5. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
- •10. Электромагнитные волны
- •10.1. Волновое уравнение
- •10.2. Плоская электромагнитная волна
- •10.3. Свойства электромагнитных волн
- •10.4. Энергия электромагнитного поля
- •10.5. Излучение диполя
1.8. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Уравнения Пуассона и Лапласа
Прямая задача электростатики– определение потенциала и напряженности поля по заданному распределению зарядов – может быть решена различными методами. В принципиальном смысле все они равноценны, однако требуют различного объема вычислительной работы. Целесообразно выбрать тот метод, который приводит к искомому результату наиболее простым путем.
Использование принципа суперпозиции электрических полей. Этот метод предполагает прямое использование закона Кулона. Напряженность поля в точке вычисляется как сумма напряженностей, создаваемых всеми элементамиdl,dsиdVлинейных, поверхностных и объемных зарядов. Трудность заключается в том, что приходится суммировать векторы, что значительно усложняет вычисления. Определение потенциала этим методом предполагает суммирование потенциалов точечных зарядов. Это возможно только в тех случаях, когда заряды распределены в конечной области пространства и потенциал в бесконечности можно принять равным нулю. И в том и в другом случае точные решения могут быть получены только для систем зарядов, обладающих каким-либо типом симметрии.
Использование теоремы Остроградского-Гаусса. При наличии симметрии в некоторых случаях наиболее эффективным методом определения напряженности поля является применение теоремы Остроградского-Гаусса. Однако для определения напряженности поля, создаваемого произвольной системой зарядов, этот метод неприменим.
Использование уравнений Пуассона и Лапласа. Для практических расчетов электрических полей, как правило, используется сведение задачи к решению дифференциальных уравнений для потенциала. Чтобы получить эти уравнения, представим сначала теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Попытаемся связать напряженность поля в некоторой точке пространства с объемной плотностью заряда в этой же точке.
Допустим, что электрический заряд произвольным образом распределен в пространстве и зависимость объемной плотности заряда от координат известна. Охватим некоторую точкуAзамкнутой поверхностью, ограничивающей бесконечно малый объемdV, в пределах которого объемную плотность заряда можно считать постоянной, (рис. 1.27) и подсчитаем поток вектора напряженности через эту поверхность.
Представим вектор
в
виде:
.
Ограниченный поверхностью объем имеет
вид кубика с размерами реберdx,dy,dz.
Поток вектора
через
левую грань кубика может быть записан
в следующей форме:
где Ey(y)– значение проекции вектора смещения на левой грани кубика, т.е. в точке с координатойу;dS1– площадь левой грани кубика, причемdS1=dx dz.
Аналогично, поток вектора напряженности через правую грань кубика –
где dS2– площадь правой грани кубика, причемdS2=dx dz. Значение проекции вектора напряженности на правой грани кубика, т.е. в точке с координатойy + dy, можно представить так:
Суммарный поток вектора напряженности через грани кубика, перпендикулярные оси OYсоставит
Аналогично можно получить потоки вектора смещения через грани кубика, перпендикулярные оси OZ:
а также через грани, перпендикулярные оси OX:
Тогда полный поток через всю замкнутую поверхность получаем, сложив выражения (1.33) – (1.35):
Электрический заряд, заключенный в объеме dVи охваченный замкнутой поверхностью, равен произведению объемной плотности заряда и объема кубика:
Согласно теореме Остроградского-Гаусса получаем
Левая часть полученного соотношения в
векторной алгебре называется дивергенциейвектора:
Дивергенция вектора характеризует его “расходимость” и по определению численно равна пределу отношения потока вектора через поверхность, ограничивающую некоторый объем ΔV, к объему при его стремлении к нулю.
Таким образом, дивергенция вектора напряженности электростатического поля равна объемной плотности заряда, деленной на 0.
Это выражение представляет собой теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Физический смысл (1.39) заключается в том, что источниками электростатического поля являются электрические заряды. С помощью этого уравнения легко решитьобратную задачу электростатики– определить объемную плотность заряда, если известна зависимость от координат напряженности поля. Однако решить прямую задачу нельзя, поскольку одно уравнение не позволяет определить три проекции вектора напряженности. Следовательно, необходимо вывести аналогичное уравнение для скалярной характеристики поля – потенциала.
Используя дифференциальную связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля, выражение (1.38) можно записать в виде
тогда (1.39) можно переписать так
.
Левая часть полученного равенства
представляет собой операцию суммирования
вторых частных производных скалярной
функции по координатам. В математике
это выражение называют оператором
Лапласаи обозначают2 Δ(не путайте символ операторас
обозначением приращения некоторой
величины!). Таким образом, мы получаем
Это
дифференциальное уравнение второго
порядка в частных производных, называемоеуравнением Пуассона,позволяет по заданному распределению
зарядов получить распределение потенциала
электростатического поля, созданного
ими. Если объемных зарядов нет (вакуум),
то уравнение (1.40) принимает вид
иназываетсяуравнением
Лапласа.
Уравнения Пуассона и Лапласа решают при заданных краевых условиях, то есть при заданном потенциале на границе области, в которой определяется поле. По найденной зависимости потенциала от координат определяют напряженность поля.