1.3. Классификация погрешностей

Неустранимая погрешность обуславливается погрешностью математической модели, так как это лишь приближенное описание реального явления, и погрешностью исходных данных. Погрешность, источником которой является метод решения задачи, называется погрешностью метода. Погрешность, возникающая из-за округления – вычислительная погрешность.

Полная погрешность складывается из этих трех составляющих.

Абсолютной погрешностью приближенного значения а* величины а называется разность а-а*=А(а*).

Относительная погрешность это отношение абсолютной погрешности к его приближенному значению а.

Погрешности арифметических вычислений

Абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых . Относительная погрешность произведения и частного равна сумме погрешностей сомножителей или делимого и делителя

При массовом вычислении, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, пользуются следующими правилами:

1. При сложении и вычитании приближенных чисел сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное значение с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат и куб в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате берут столько значащих цифр, сколько из имеет подкоренное число.

5. При вычислении промежуточных результатов берут на одну цифру больше, которая отбрасывается при окончательном результате.

6. Если данные имеют больше десятичных знаков (значащих цифр), их предварительно округляют.

1.4. Классификация алгебраических задач

Алгебраические задачи могут быть классифицированы по числу решаемых уравнений, а затем по типу и количеству ожидаемых решений.

Рис. 1.1. Классификация алгебраических задач

В случае одного уравнения задачу называют линейной, алгебраической или трансцендентной. Причем первая имеет одно решение, вторая – n, в третьей число решений заранее неизвестно. В случае нескольких уравнений задачу называют линейной или нелинейной.

Трансцендентными называют нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие, например lgx или е^х.

Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение с помощью формулы (корень квадратного уравнения). В итерационных методах процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

Вопросы для самопроверки

1. Каковы цели и задачи математического моделирования?

2. Принципы классификации математических моделей?

3. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности.

4. Как осуществляется учет погрешности при массовом вычислении?

5. Приведите классификацию алгебраических задач.