Лекція 13 . Хвильові процеси.

План

1. Хвильові процеси.

2. Рівняння хвилі*. Миттєвий розподіл зміщень швидкостей та деформації в хвилі*.

3. Енергетичні співвідношення*. Вектор Умова**.

4. Інтерференція синусоїдних хвиль**.

5. Біжучі та стоячі хвилі**.

6. Елементи акустики***.

1. Хвильові процеси.

Хвиля — це процес поширення коливань.

Механічні хвилі — це поширення деформацій пружних середовищ. Для поширення механічних хвиль обов’язкова наявність пружних зв’язків в середовищі. Напрям поширення хвилі називають променем.

В залежності від напрямку коливання частинок середовища розрізняють поперечні та повздовжні хвилі. Хвиля поперечна, якщо напрями, в якому коливання відбуваються і в якому вони поширюються, взаємно перпендикулярні (а).

Хвиля поздовжня, якщо ці напрями взаємно паралельні (б).

Поперечні хвилі бувають тільки в твердих тілах, а поздовжні (хвилі стиснення — розрідження) — в усіх пружних середовищах.

Крім характеристик хвильового процесу, аналогічних характеристикам коливань (період, частота, фаза, амплітуда), є спе­цифічна характеристика — довжина хвилі λ ("ламбда")— відстань, яку проходить хвиля за час, що дорівнює од­ному періоду. Або інакше: — це відстань між найближчими точками середовища, які коливаються в однакових фазах.

Швидкість передачі коливального руху від частинки до частинки середовища зумовлює швидкість поширення хвиль. Її називають фазовою швидкістю. В повздовжній хвилі в умовно виділеному елементі площиною S під дією зовнішньої сили відбувається стискання, що поширюється зі швидкістю v . При цьому змінюється густина на величину Δρ. Тоді за час Δt через переріз буде перенесена маса і відповідний імпульс

Звідси . Для однорідного пружного середовища справджуються такі співвідношення:

ρ – густина недеформованого середовища;

Δp – зміна тиску при деформації стискання або розтягу;

ε – відносна деформація;

α – коефіцієнт пружності.

Фазова швидкість виражається формулою: або , де Е – модуль Юнга (виражає пружні властивості середовища).

Швидкість хвилі .

Ділянку середовища, де частинки здійснюють коливання, називають хвильовим полем. Геометричне місце точок, що коливаються в одній фазі, називають хвильовою поверхнею, а геометричне місце точок, якого досягне коливання в даний момент часу, називають фронтом хвилі.

2. Рівняння хвилі*. Миттєвий розподіл зміщень швидкостей та деформації в хвилі*.

Хвильовий процес вважається заданим якщо в будь-які моменти часу відомі зміщення частинок, розташованих на різних відстанях від джерела хвиль, тобто функція

Нехай хвиля поширюється в напрямі осі ох, (тобто ) і зміщення частинок в площині х=0 визначається рівнянням . До площини, що знаходиться на відстані х від початку спостереження коливання надійдуть з запізненням на час τ. Зміщення точок в такій площині визначатиме рівняння

, де . Тоді рівняння прийме вигляд:

Величину називають хвильовим числом. Воно виражає кількість довжин хвиль, що вміщаються на відрізку 2π. Рівняння хвилі має вигляд:

При поширенні коливань у пружному середовищі амплітуда коливань зменшується. Для сферичної хвилі рівняння приймає вигляд:

Коливання точок хвильової поверхні, що знаходяться на відстані від початку координат, задається рівнянням: .

Знаючи миттєвий розподіл зміщень частинок, що здійснюють коливання, можна визначити розподіл швидкостей та деформацій у хвилі: