2.2. Анализ и оценка погрешностей косвенных измерений

Косвенным измерениям соответствует такая схема экспери­мента, когда искомую величину определяют расчетом по ре­зультатам прямых измерений других величин. В общем случае косвенных измерений несколькими приборами измеряют не­сколько величин, и результаты измерений подвергают матема­тической обработке, т. е. результат эксперимента определяют как функцию аргументов, роль которых выполняют измерен­ные приборами величины X,Y..., связанные с искомой величи­ной известной функциональной зависимостью.

В практике лабораторных и промышленных экспериментов чаще всего оп­ределяют результат косвенного измерения как функцию одного или двух аргу­ментов и значительно реже — как функцию трех аргументов. Будем считать, что вид функции R=F(X, Y, Z) известен, известны входящие в нее постоян­ные величины, результаты прямых измерений Х₁, Y₁ u Z₁ и погрешности этих измерений Х₁, Y₁ u Z₁. Результат такого эксперимента R₁ определится под­становкой результатов прямых измерений Х₁, Y₁ u Z₁ в функциональную зави­симость: R₁=F(Х₁, Y₁ , Z₁), а погрешность результата косвенного измерения

(2.1)

Входящие о равенство (2.1) слагаемые , , называются частными погрешностями косвенного измерения.

Применим формулу (2.1) для функции R=a₁X+a₂Y+a₃Z при условии, что систематические ошибки измерений аргументов много больше случайных и последними можно пренебречь. Тогда частные погрешности соответственно равны a₁X_сист , a₂Y_сист , a₃Z_сист , а погрешность результата R₁ = a₁X_сист + a₂Y_сист + a₃Z_сист

Аналогично для функции R=XY в соответствии с формулой (2.2)

R_1сист = Y₁X_1сист + X₁Y_1сист. (2.2)

Для оценки случайной ошибки косвенного измерения нужно знать оценки случайных ошибок прямых измерений аргументов, например оценки средне­квадратичного отклонения _х , _у ,_z.

Оценка среднеквадратичной погрешности (ошибки) результата косвенного измерения

(2.3)

К числу наиболее распространенных функций, встречающихся в экспери­ментальной работе, относится функция произведения R=XY. Применяя фор­мулу (2.3), получаем выражение оценки среднеквадратичной погрешности

Если R=X+Y, то в соответствии с формулой (1-3)

Если результат R является функцией произведения или отношения несколь­ких величин, то квадрат относительной ошибки результата равен сумме квад­ратов относительных ошибок аргументов. Так, для функций трех переменных вида R=XYZ или R=XY/Z

Теперь рассмотрим важный частный случай, когда искомая величина яв­ляется функцией одной переменной R=F(X). Для этого случая в соответствии с формулой (2.3)

(2.4)

Например, если _{R=k x}^b, где k и b — известные величины, то  = _kbx^b-1_x, а если _{R=k е}^х, то _R = _{k е}^х_x.

Оценку случайной ошибки результата можно найти и в том случае, если аналитическое выражение функции R=F(X) неизвестно, но эта зависимость представлена графически (рис. 2.1). Пусть прибором измерена величина X с известной оценкой среднеквадратичной погрешности _x. Проведем касатель­ную к кривой в точке R₁, X₁ и измерим тангенс ее наклона , равный производной в данной точке . В соответствии с формулой (2.4)

Когда результаты прямых измерений аргументов содержат как систематические, так и случайные ошибки и последними пренебречь нельзя, их нужно вычислять раздельно: систематические по формуле (2.2), а случайные - по формуле (2.3).

Рис. 2.1. Оценка случайной ошибки результата при наличии

графического изображения функции одной переменной.

Систематическая ошибка результата алгебраически складывается со значением R, полученным в результате подстановки измеренных значений аргументов Х₁, Y₁ u Z₁ в уравнение R=F (X, Y, Z): R'= R+R_сист . Оценка случайной ошибки записывается в виде доверительного интервала ± . Как и при прямых измерениях, наиболее употребительными доверительными интер­валами являются: вероятная погрешность, соответствующая =2/3 _R, максимальная погрешность, соответствующая  =3_R, и доверительный интервал =2_R, которому соответствует приблизительно 20 шансов к 1 за то, что случайная ошибка результата не выйдет за пределы ± 2_R.

Окончательный результат косвенного измерения, содержащего как систе­матические, так и случайные ошибки, запишется в виде R_изм= R'±  = R + R_сист  .

Простым уравнением косвенного измерения является

(2.5)

f – известная функция величин , , определяемых прямыми измерениями.

.

Полагая малыми разложим f в ряд Тейлора.

.

Дисперсия оценки будет минимальной, если из всех возможных оценок будут выбраны те, которые имеют наименьшую дисперсию (эффективная оценка). Эффективными будут среднеарифметические результаты измерений этих величин.

Поэтому оценка косвенных измерений измеряемой величины (ИВ) получается в результате подстановки в уравнение измерения (2.5) среднеарифметических значений величин, определяемых прямыми измерениями.

Представим

,

где – случайная и систематическая составляющая соответственно

. (2.6)

Выражение для систематической погрешности получим, усреднив правую и левую часть этого уравнения

. (2.7)

Рис. 2.2 Закон распределения погрешностей p=f ()

Отсюда видно, что в косвенных измерениях систематическая погрешность определяется не только систематическими погрешностями прямых измерений, но и случайной составляющей по- грешности.

Даже при , в результат косвенного измерения нужно вносить поправку q. Ее следует определить из (2.7). Ограничимся первыми членами разложения, и вычитая (2.6) из (2.7), получим

.

Усреднение квадрата правой и левой частей этого выражения позволяет найти дисперсию результата косвенного измерения

где – коэффициент корреляции, при =0 – отсутствует связь Результат косвенного измерения представляется в виде