1.3. Показатели точности

Результаты измерения можно использовать лишь в том случае, если оценена верность измерения, количественно выражаемая знанием погрешности измерения, составной частью которой является погрешность ППИ. Из метрологии следует, что наи­более полную информацию о погрешности ППИ можно получить, сравнивая номинальную и реальную передаточные характеристики ППИ, т. е. зная процесс погрешности ППИ:

(1.3)

где х – измеряемая величина; t – время; – влияющие факторы; у – случайные воздействия на прибор.

Очевидно, для нормальных условий эксплуатации прибора

(1.4)

Конкретные реализации этого процесса можно получить и экспериментально как разность показаний ППИ и действительного зна­чения измеряемой величины на испытательном сигнале:

(1.5)

где и – показания исследуемого прибора и действительное значение измеряемой величины. В общем случае процесс погрешно­сти – нестационарный процесс с ненулевым математическим ожи­данием, который на практике чаще всего аппроксимируется квази­стационарным эргодическим процессом с математическим ожида­нием, зависящим от времени.

Пользоваться такой характеристикой точности ППИ неудобно. Поэтому для оценки точности ППИ применяют показатели точности, которые являются не функциями, а числами. С помощью чисел просто и удобно оценивать качество ППИ и вычислять погрешность измерений. Естественно, что этот переход неизбежно вызывает по­терю информации о свойствах прибора.

Поскольку существует множество различных числовых показа­телей точности ППИ, надо предъявлять определенные требования к этим показателям, позволяющие выбирать оптимальные из них. Такими требованиями могли бы быть следующие:

1. Вычисление погрешности результата измерения по записан­ным в паспорте ППИ показателям точности для широкого класса сигналов, действующих на входе прибора.

2. Аттестация ППИ и их поверка на основании этих показателей.

3. Вычислительное определение суммарной погрешности любого комплекса средств измерений по показателям точности отдельных измерительных устройств, входящих в этот комплекс.

4. Применение ЭВМ для аттестации ППИ и обработки резуль­татов измерения.

5. Простота всех операций по нормированию, поверке, обработ­ке результатов без ущерба для качества этих операций.

В теории и практике измерений в настоящее время использу­ются показатели точности трех, видов, удовлетворяющие этим требованиям.

1. Вытекающие из функционального анализа, в котором поня­тие точность сводится к понятию «близость» или расстоянию меж­ду и . Практически широко распространен критерий наибольшего уклонения (равномерная метрика), где погрешность ППИ должна определяться как максимальное абсолютное значение погрешности при всех возможных значениях измеряемой величины в пределах шкалы прибора для определенного интервала времени эксплуатации прибора и всевозможных значениях случайных воздействий на ППИ :

(1.6)

Заметим, что такой способ численной оценки погрешности ППИ состоятелен только при отсутствии случайных погрешностей прибо­ра или справедливости предположения, что сумма систематической и случайной составляющей погрешности ППИ сходится по вероят­ности к предельной оценке.

Основным достоинством равномерной метрики является то, что она обеспечивает регистрацию и индикацию любых изменений вход­ного сигнала, включая кратковременные, но ограниченные по амп­литуде выбросы. В этом смысле она гарантирует меньшее значение риска, чем любая другая метрика.

Однако применение такого способа оценки погрешности ППИ имеет и ряд недостатков. Прежде всего для получения предельной оценки погрешности прибора необходимо иметь достаточно глубо­кие априорные сведения о характеристиках сигнала, прибора, влияющих факторов и помех. Это приведет к необходимости боль­шого количества испытаний измерительного устройства, что не­удобно для производства.

Поэтому получение предельных оценок процесса погрешности ППИ целесообразно только тогда, когда для принятия решений по результатам измерений действительно необходимо использовать указанную метрику или когда случайной составляющей погрешно­сти ППИ можно пренебречь.

В связи с этим заметим, что часто в документах, нормирующих точность ППИ, указываются предельные значения погрешностей прибора, встретившиеся при короткой серии его испытаний. В этом, случае оценка погрешности ППИ будет несостоятельной, не соот­ветствующей равномерной метрике.

2. Вытекающие из теории вероятностей и математической ста­тистики. Этот подход к оценке погрешностей ППИ предполагает, что погрешности прибора являются случайными функциями и вызываются совместным действием детерминированных и случайных дестабилизирующих факторов.

Очевидно, что при таком подходе к оценке погрешности ППИ значение погрешности при каждой поверке прибора должно рас­сматриваться как случайная величина. Если время фиксировано, а входная испытательная величина х постоянна, то погрешность в каждой тачке шкалы ППИ будет полностью характеризоваться распределением, вероятностей погрешности . Однако задавать эту функцию в каждой точке шкалы невозможно. Поэтому необходимо выбрать одно-два числа, чтобы наилучшим образом описать, точность прибора.

Чаще всего в качестве таких чисел используются первые два момента закона распределения – математическое ожидание погрешности М[], являющееся систематической составляющей погрешности ППИ , и среднеквадратическое отклонение случайной погрешности . В ГОСТ 8.009–84 предлагается эти погрешности определять из соотношений

(1.7)

где вычисляется как среднее значение погрешности в точке х диапазона измерений, определяемых экспериментально при медлен­ном многократном изменении входного сигнала со стороны мень­ших значений до значения х; вычисляется как среднее значение погрешности в точке х диапазона измерений, определяемых экспериментально при медленном многократном изменении входного сигнала со стороны больших значений до значения х; и определяют следующим образом:

(1.8)

где n – число опытов при определении и ; – l-я реализация погрешности ППИ при медленном предварительном изменении входного сигнала со стороны меньших значений до значения х; – l-я реализация погрешности ППИ при медленном предвари­тельном изменении входного сигнала со стороны больших значений до значения х.

Значение n зависит от требуемой точности определения и и обычно на практике не превышает 60–100. Конкретное значение n регламентируется в соответствующими нормативными документами и государственными стандартами и другой нор­мативно-технической документации на измерительные устройства.

Если вариация показаний ППИ отсутствует, то определяют формулой

(1.9)

где – l-я реализация погрешности средств измерений.

Оценка среднеквадратического отклонения случайной погрешности ППИ должна вычисляться по формуле

(1.10)

Если вариация не учитывается или отсутствует, то

(1.11)

Оценка математического ожидания систематической составляющей и математического ожидания погрешности  средств измерений данного типа определяется соответственно фор­мулами

(1.12)

(1.13)

где m – количество средств измерений, используемых при оценке и – значение величины ,  для i-гo экземпляра средств измерений.

Оценка среднеквадратического отклонения систематической составляющей и среднеквадратического отклонения , погрешности  средств измерений данного типа определяется соответственно формулами

(1.14)

(1.15)

Вариацию показаний ППИ b определяют как абсолютную вели­чину разности между значениями и :

(1.16)

Поскольку погрешности ППИ изменяются во времени, для опи­сания динамических свойств погрешности необходима характеристика, определяющая внутреннюю структуру этого процесса.

В пределах корреляционной теории случайных процессов такой характеристикой может быть автокорреляционная функция или спектральная плотность процесса погрешности . Значе­ние должно приводиться в виде нормализованной функции (формула, график, таблица) и предела допускаемого отклонения этой функции в ее единицах или в процентах от номинальной функ­ции. Экспериментально значения автокорреляционной функции в некоторой точке , принадлежащей области ее существования, мож­но определить из формулы

(1.17)

где – значение погрешностей ППИ в моменты време­ни и ; – значение математическо­го ожидания и среднеквадратического отклонения погрешности в эти же моменты времени.

Значение n, определяющее требуемую точность оценки автокор­реляционной функции, верхний предел диапазона изменений аргумента и интервал между двумя последовательными отсчетами, устанавливается в нормативно-технической документации, указан­ной в ГОСТ 8.009–72, причем формулы для вычисления , могут быть иными, чем указанные в ГОСТ 8.009–72, при условии обеспечения заданной вероятности брака контроля (поверки).

В связи с большой трудоемкостью определения в ряде случаев вид автокорреляционной характеристики процесса погреш­ности можно выбирать на основании рассмотрения физических процессов в схеме ППИ.

Сказанное относится к определению погрешностей ППИ в одной точке шкалы . Естественно, что значения и могут изме­няться вдоль шкалы прибора, поэтому возникает задача определе­ния количества точек, в которых необходимо определять погрешно­сти прибора так, чтобы по их значениям можно было бы оценить с известной погрешностью точность ППИ в целом. Эту задачу мож­но решить, если известна реальная статическая характеристика ППИ – . Тогда количество аттестуемых точек и их положение по шкале прибора находят, аппроксимируя некоторым полиномом при определенной величине погрешности аппроксимации. Для ППИ с почти линейными статическими характеристиками удовлетворительные результаты могут быть получены и при использовании номинальной передаточной характеристики . На практике для таких ППИ количество аттестуемых точек обычно не превышает 10.

После получения значений погрешности ППИ в ряде точек шка­лы необходимо оценить точность ППИ в целом. При этом можно использовать экстремальные, усредненные и доверительные показа­тели точности.

Согласно ГОСТ 8.009–84, в общем случае ППИ должны характеризоваться комплексом нормируемых метрологических характе­ристик из числа метрологических характеристик, перечисленных в ГОСТ 8.009–72 и дополнительно включенных в стандарты на виды средств измерений и технические условия на типы средств измере­ний. Эти характеристики должны быть достаточны для учета свойств средств измерений при оценке погрешностей измерений, производимых в условиях применения, оговоренных в техническом задании и технических условиях на средства измерений. Так, на­пример, в соответствии с РМГ 29-99 для ППИ установлены следующие метрологические характеристики средств измерений: пределы допускаемой основной погрешности (погрешности ППИ в нормальных условиях применения) или допускаемой систематиче­ской составляющей и допускаемого среднеквадратического от­клонения случайной составляющей основной погрешности.

В ГОСТ 8009– 84 также указано, что в стандартах общих тех­нических требований и технических условий, стандартах техни­ческих требований на средства измерений могут устанавливаться классы точности в соответствии с РМГ 29-99 ГОСТ 8.207-76, причем классы точности могут устанавливаться на ППИ, предназначенные для применения в условиях, при которых динамические погрешности измерения пренебрежимо малы по сравнению с нормированной для этих ППИ погрешностью. Классы точности не устанавливаются для ППИ, предназначенных для воспроизведения, преобразования или измерения нескольких величин, если при этом для них необхо­димо устанавливать различные пределы допускаемых погрешно­стей. Способы выражения пределов допускаемых погрешностей устанавливаются по ГОСТ 8.207-76.

В ППИ, имеющих вариацию показаний, последняя нормируется пределом допускаемого значения для вариации приборов данного типа.

3. Вытекающие из теории информации. Понятие информации связано с некоторыми моделями реальных вещей, отражающими их сущность в той степени, в какой это необходимо для практиче­ских целей. В связи с этим под информацией надо понимать не сами предметы и процессы, а их существенные характеристики, раскрывающие сущность материального, мира. Обычно имеется в виду их отображение в виде чисел, формул, описаний, образов, символов и т. п. абстрактных характеристик, которые на практике всегда проявляются в материально-энергетической форме в виде сигналов. Если предположить, что для процессов передачи информации существуют свои законы, отличные от законов передачи энергии или вещества, можно попытаться найти некоторый эффек­тивный критерий качества передачи этой информации, а следова­тельно, и точности (или функционала точности) измерительных устройств. Наиболее полно такой подход к оценке точности измери­тельных устройств дан в работе [33], где в качестве оценки слу­чайной погрешности предлагается принять величину

(1.18)

где – условная энтропия, характеризующая ту неопреде­ленность в знании измеряемой величины, которая остается после получения показаний прибора.

На практике информационные критерии оценки качества измерительных устройств не применяются, что объясняется отсутствием реальных рецептов построения измерительных устройств на базе этой метрики, а также привычностью аппарата детерминистской и вероятностно-статистической оценок качества работы измеритель­ных устройств.