Условия совместности
Знание
моментов и перерезывающих сил руля и
стабилизатора в осях недеформированных
стержней дает возможность, используя
матрицы
,
перейти к моментам и перерезывающим
силам в местных осях
,
связанных с сечениями руля и стабилизатора.
Нагрузки, записанные в местных осях,
определяют деформации стержней (2.1.3),
по которым можно найти перемещения
(2.1.7).
Таким образом, зная компоненты перемещений линий центров жесткости сечения стабилизатора и руля можно определить и перемещения их шарниров навески , равенство которых и определит условия совместности.
Положение оси шарниров в осях недеформированного руля можно представить вектором
(2.2.4)
Здесь
,
чаще всего
.
(рис.2.2.2)
Положение оси шарниров стабилизатора в его осях аналогично
.
Приравниваем векторы перемещений шарниров из исходного состояния в деформированное
(2.2.5)
Разрешающие уравнения
При решении задачи об устойчивости составной конструкции мы не занимаемся алгебраическими подстановками полученных соотношений.
Это делает ЭВМ, так как нелинейные задачи решаются последовательными приближениями в различных вариантах, а исходное решение как-то задается. Систему приводим к алгебраическому виду
,
(2.2.6)
в которую включены соотношения (2.1.3-2.1.11), записанные для двух отдельных стержней: руля и стабилизатора, и зависимости (2.2.1)-(2.2.4).
Здесь
(2.2.7)
О методике решения основных уравнений
Включаем этот раздел, так как отыскивается катастрофический переход, характеризующийся неоднозначностью решений, нахождение которых непростая задача.
В настоящее время не существует надежного математического аппарата для решения нелинейных систем алгебраических уравнений, который бы позволил находить корни этих уравнений формально по стандартным программам. Таких программ пока нет, и каждый исследователь, занимающийся нелинейными задачами, проявляет собственную изобретательность для получения надежного и достоверного решения полученных им уравнений, посвященных частной проблеме.
Предлагаемый параграф объединяет в единое целое ряд известных методов, которые в комплексе позволяют решать уравнения (2.2.5).
Нелинейная
система, в общем случае, предполагает
соответствие каждому значению нагрузки
Р
одного или нескольких состояний
равновесия, среди которых могут быть и
неустойчивые. Существующие методы
решения нелинейных систем чувствительны
к выбору начального приближения. Проще
всего начальное приближение можно
выбрать, если известна предыстория
нагружения. Наиболее распространенным
методом, учитывающим предысторию,
является метод последовательных
нагружений. Это экстраполяционный
метод, в основе которого лежат следующие
соображения: если при Р
=
известно
решение системы
,
то при Р =
+ 
Р
решением системы будет
.
Подставляя эти выражения в (2.2.6) и выделяя главную линейную часть, получим систему уравнений
откуда
Далее,
если
нам известно
решение системы (2.2.6) при Р=
,
то продолжение
решения по Р
можно построить следующим образом:
1) задаем
=
+
P
;
2)
находим
,
получаем новое решение, соответствующее заданному :
В
процессе такого построения решения
будет накапливаться ошибка, обусловленная
линейностью
на каждом участке
P
, которая может сильно исказить результат.
Поэтому время от времени необходимо
проводить коррекцию одним из методов
решения нелинейных систем. Значение
может служить начальным приближением.
Если для этой цели использовать метод Ньютона - Канторовича, который на наш взгляд, требует наименьших затрат машинного времени, процесс корректировки представляет собой выполнение процедуры:
Здесь
за начальную точку
принимается
- значение, полученное последовательными
нагружениями.
При
решении задач прочности процесс
последовательных нагружений удобно
начинать при Р=0,
когда все
известны. Далее, последовательно
увеличивая нагрузку постоянным или
переменным шагом dP=DP
, получаем всю кривую равновесия
(P)
, вплоть до заданной нагрузки, при которой
и требовалось найти решение. Этот
удобный для построения кривых равновесия
метод может быть применен лишь в зонах,
где матрица
неособенная, т.е.
в противных случаях производят смену параметра : из массива
выбирают
элемент
для которого
и
используют этот элемент в качестве
нового параметра, образуя массив
.
Массив
представляет собой массив
,
в котором элемент Х(P)
заменен на P.
Теперь систему (2.2.6) можно записать в
виде
и
в особой области заменить P
на
после чего
в котором
