§ 4.1 Переход от квантовых распределений к классическому

Очевидно, что стирание различий между фермионами и бозонами эквивалентно отказу от квантового рассмотрения, т.е. откату на классические позиции. Формально это получается, если пренебречь 1 в знаменателе функций f_F и f_B . Получим:

f_F = f_B = f_кл. = f_Б

Это возможно, если экспонента в знаменателе много больше 1. Квазиклассическое (классическое) распределение носит имя Больцмана.

f_Б = (3.15)

_. f_Б = N (ℇ_i 1 – среднее число частиц в каждом i состоянии мало.

Выражение (3.15) имеет вид, соответствующий распределению Гиббса (3.2), если принять C = .

§ 4.2 Критерий вырождения для квазисвободных частиц

Традиционно в физике говорят о вырождении уровней энергии (состояний) и о вырождении самой системы.

Имеются определённые критерии в каждом случае.

Если энергия системы частиц (соответственно и каждой частицы) слабо зависит от температуры, то система является вырожденной.

Условие

f_F = f_B (*)

является критерием, что система частиц будет классической

( N (ℇ_i 1 ) . Это эквивалентно условию

1 (**)

Что, в силу справедливости утверждения 0  ℇ  , даёт дополнительные условия:

1. – μ / kT 1

2. μ  0

3. ׀ μ ׀ kT

Выражение (3.8) позволяет при заданном числе частиц N определить значение химического потенциала невырожденного ансамбля и дать дополнительные критерии. Итак:

μ = k T· ln ( ),

где θ = (γ_s n)^3/2

- параметр, имеющий размерность температуры.

При концентрации частиц равной критической n n_c характеристическая темп-ра θ = θ_кр. и классическая статистика даёт весьма приближённые результаты.

Она применима при

n n_c = γ_s ( )^3/2

или θ_кр. Т.

Можно показать, что условием подобным концентрационному является соотношение

λ _Б l,

где λ _Б - длина волны де Бройля и l – расстояние между частицами. В противном случае система является вырожденной.

§ 4.3 Распределение Максвелла – Больцмана

Вернёмся к распределению Больцмана (3.15)

N_i = 1

Для числа частиц находящихся в состояниях dΩ имеем:

dN = N_i ·g(ℇ)·dℇ = N_i · γ_s dΩ

Подставляя в экспоненту значение хим. потенциала

μ = k T· ln )^3/2 ] (3.16)

получаем:

dN = · p

Если энергию частиц можно представить в виде суммы кинетической и потенциальной энергий

ℇ = ℇ_к + U( )

dN = · p (3.17)

Под U( ) можно понимать энергию частиц в каком-либо силовом поле.

Мы пришли к известному классическому распределению Максвелла – Больцмана.

Здесь ℇ_к =( /2m) = - кинетическая энергия.

Выражение (3.17) фактически распадается на два независимых распределения:

= dW ( , ) = dW( ) dW ( ) (3.17,а)

§ 4.4 Распределение Максвелла (р.М.)

4.4.1 Р.М. по векторам импульса и скорости, и их проекциям

Имеем из (3.17, а)

dW( ) = d d d = F( ) p (3.18)

Оно определяет вероятность обнаружить частицу в заданном элементе импульсного пространства.

F( ) = (3.18,a)

F( ) = F( · F( ·F( ,

причем каждое вида:

F( =

Зная связь импульса, скорости и энергии, получают целый ряд распределений (распределение Максвелла многолико!).

dW( ) = F( )·d³ = F( )·d _{x y z}

Распределение Максвелла по вектору скорости:

F( ) = (3.19)

F( ) = F( _x)· F( _y)· F( _z)

Распределение Максвелла по проекции скорости:

F( _x) = (3.20)

Его называют одномерным. Причём возможна замена x z

Трёхмерная и одномерная функции нормируются на 1 при интегрировании в пределах изменения переменной от - до + Вид F( _x) для двух температур приведен на рис.

4.4.2 Р.М. по модулям импульса и скорости

Используя выражение dΩ в импульсном пространстве

dΩ = V· dp,

получают по схеме аналогичной для получения (3.18) и (3.18,а),

выражение для распределения по модулю импульса:

F( p) = (3.21)

Переход от F( p) к F( ) с учётом, что p = m и dp =md даёт:

F( ) = (3.22)

Вид последнего распределения показан на рис. для двух разных температур.

Используя F( ), находят среднеарифметическое и среднеквадратичное значения скорости:

υ =

=

Для частиц (молекул) идеального газа

υ = и = ,

причём = , где R - газовая постоянная, М – масса моля.

Наиболее вероятное значение скорости находится из условия экстремальности функции:

=0 откуда: _в = .

4.4.3 Р.М. по энергии частиц

Прямой путь получения ф.р. - из соотношения (3.17) для dN через вероятность dW с использованием распределения Больцмана - (3.15) и химического потенциала - (3.16).

При этом для dΩ используем (3.13).

g (ℇ)

dW = F(ℇ) dℇ  F(ℇ) = (3.23)

Вид распределения (3.23) приведен на рис. для двух разных температур.

Используя его, легко найти среднюю энергию частицы и её наиболее вероятное значение:

= kT и ℇ_в = kT

Здесь 3 = i - числу степеней свободы. Тогда очевидно, что энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна kT.