§ 3.2.2. Статистика Бозе-Эйнштейна

Имеет дело с частицами с целочисленным спином (бозонами), не подчиняющихся принципу Паули. В доступном состоянии их число ничем не ограничено.

f _В = ·W_i,N = ·[ ]^-1

Суммирование потребует некоторого искусства и расчета геометрической прогрессии с бесконечным числом членов, ограничение потребует, что бы

μ  0 ( отрицательность очень важна!). В итоге:

f _В = N_i  = [ -1]^-1 (3.5)

Вблизи низких температур (Т→ 0) образуется т.н. бозе конденсат в фазовом пространстве. (Много частиц в одном состоянии).

Важно,что = N (Площади под кривыми одинаковы!)

Оказывается, что f _В убывает прмерно по экспоненциальному закону

f _В ·

Вместе с тем формально f _В → при ℇ → μ, т.е. при отрицательных ℇ.

Ход кривых f _В (Т) показан на рис. Если Т→ 0, то и ׀ μ׀→ 0 со стороны отрицательных значений, что и приводит к Бозе-конденсации частиц в основное (с меньшей энергией) состояние.

Заметим также, что при 1 в формуле (3.5) в знаменателе единицей можно пренебречь и зависимость будет экспоненциальной, сходной с предельным случаем для f _{F .}

А именно:

f _В A( )·

Можно говорить, нет разницы между квантовыми частицами разного сорта.

Оба распределения вырождаются в классическое.

§ 3.3 Плотность состояний

Часто важно знать не только среднее число частиц в состоянии с энергией ℇ_i , но и число самих доступных состояний, приходящихся на интересующий интервал энергий (фактически, статвес).

В энергетическом пространстве плотность состояний

g(ℇ) = γ , (3.6)

где γ – кратность вырождения состояния.

В импульсном пространстве соответствено:

g(p) = γ , (3.7)

Число частиц занимающих доступные состояния в интервале энергий dℇ

dN (ℇ) = f_F(ℇ)· g(ℇ) dℇ (3.8)

называют полной функцией распределения Ферми-Дирака.

Аналогичное выражение можно записать в случае бозе –частиц, используя

F_B(ℇ).

Расчёт g(ℇ) или g(p) представляет важную и часто не простую задачу.

1. Плотность состояний для квазисвободных частиц

В приближении почти свободных частиц в некотором большом, но ограниченном объёме пространства (квантовой яме) их энергия

ℇ_i = =

Волновая функция имеет вид волны де Бройля.

Объём фазового пространства

Г = ,

где первый интеграл равен просто V.

Если импульсы лежат в пределах от 0 до p_i = p, значение второго интеграла равно , тогда:

Г = V· , (3.9)

тогда из (3.9)

dГ = V· dp

И, учитывая, что dΩ = γ_s ,

γ_s - параметр, учитывающий различия по спиновой переменной (статвес состояния увеличивается на данный фактор).

Для плотности состояний

g (p) = = γ_s V. (3.10)

Заметим, что в пространстве волновых чисел получают

Г_k = V· (3.11)

В случае использования энергии ℇ получим из (3.9)

Г_ℇ = V· ℇ (3.12)

В этих случаях:

dГ_k = V· dk

g (k) = = γ_s V.

А также:

dГ_ℇ = V·2 dℇ

g (ℇ) = = V· (3.13)

Все эти выражения будут использованы в курсе.

3.4 Распределение Ферми – Дирака для плотности числа частиц

З.4.1. Для частиц статистики Ферми – Дирака

Из выражения (3.8) находят для квантовых частиц

= f_F(ℇ)· g(ℇ) · [ -1]^-1

и

= f_F(p)· g(p) p² · [ -1]^-1

Ход кривых показан на рисунках.

Формула (3.8) позволяет через заданное значение N или концентрацию n определить энергию Ферми (значение μ при Т=0)

ℇ_F = ( )^2/3 , (3.14)

где n= N/V

3.4.2. Для частиц статистики Бозе-Эйнштейна

В этом случае кривая распределения

= f_B(ℇ)· g(ℇ)

сдвинута со стороны положительных энергий к началу координат и более “острая”. Площадь под кривой также даёт общее число частиц в системе.

Гл.4 КАССИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЙ