§ 3.1 Распределение Гиббса

Получают для малой подсистемы а большой системы (а +А), в которой большую часть А рассматривают как термостат, вероятность W_i находится в равновесном микросостоянии i - ом состоянии с энергией ℇ_i и N_i .

Используют связь между вероятностью, статистическим весом и энтропией,

не забывая, что S= S(ℇ,N, V).

Исходный пункт, по сути

W_i = С′ (*)

После представления в виде ряда (*) принимает вид:

W_i (ℇ_i, N_i) = С (3.1)

Это известное распределение Гиббса для подсистемы с переменным числом частиц.

В случае, когда нет обмена частицами с термостатом оно имеет вид:

W_i (ℇ_i) = B (3.2)

Используя нормировку находят постоянные В и С.

В= [ ^-1 (**) ; C = [ ]^-1 (***)

Здесь (**) и (***) называются соответственно большой и малой статистическими суммами. Легко записать распределения Гиббса с учётом значения констант (“этажные” выражения).

Заметим, что в случае ансамбля одинаковых N частиц c одинаковой энергией ℇ_i в интервале ℇ, ℇ + dℇ суммирование по энергиям заменяется суммированием по числу частиц, двойной суммы не будет:

W_i,N = ]^-1 · (3.3)

В (3.4) N_k пробегает все доступные значения N для микрочастиц в состоянии ℇ_i .

§ 3.2 Квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Квантовая статистика более универсальна. Классическая механика согласно принципу соответствия является предельным случаем квантовой теории.

Основной постулат квантовой механики принцип неразличимости (тождественности) частиц данного сорта. В ней действует принцип соотношения неопределённостей Гейзенберга. И ещё два важных момента: 1). “Статистическая вероятность” проявляется на фоне “квантовой вероятности”;

2). Необходим учёт симметрии волновых функций: антисимметричные функции для фермионов (спин – полуцелый), симметричные – для бозонов (целочисленный спин).

И, наконец, система со статистическим весом Ω занимает фазовый объём

Г = (h^3N )· Ω

3.2.1 Статистика Ферми-Дирака

Применяют большое каноническое распределение Гиббса для расчёта среднего числа частиц в заданном квантовом состоянии с энергией ℇ_{i .}

f _F = = · · ]^-1}

Т.к. для N всего два значения - 0 либо 1 (занято либо не занято)

f _F = [ 1+ ]^-1 = [ +1]^-1 (3.4)

(3.4) - и есть важнейшее распределение квантовой статистики – функция распределения Ферми-Дирака. В частности, она применяется к электронам в металлах и в полупроводниках (предельные случаи).

f _F определяет вероятность нахождения частицы в состоянии с энерг. ℇ_i .

Проанализируем функцию (3.4) :

При Т → 0 для состояний ℇ_i  μ получим ехр (- = 0 

 f _F =1

При ℇ_i  μ и Т → 0 получим [ехр (+ +1]^-1 = 0 

 f _F = 0 (незанятые состояния!)

При Т 0 ступенька на графике начинает “размываться”, однако эта область размытия всего лишь порядка kT μ .

При ℇ_i = μ значение f _F =

(вероятность заполнения уровня равна 0,5)

При очень высоких температурах химпотенциал уменьшается и может стать отрицательным μ  0 , но ׀ kT ׀ μ.

При ℇ_i - μ kT

единицей в знаменателе можно пренебречь, вероятность заполнения состояния убывает экпоненциально:

f _F = A(T)·

Поведение частиц соответствует классическому.