2.4 Исследование точности системы.
2.4.1 Анализ влияния коэффициента усиления разомкнутой сау на устойчивость.
Чтобы
определить границу устойчивости системы
воспользуемся инструментом GUI-интерфейс
SISO-Design
Tool
из пакета прикладных программ Control
System
Toolbox
>> w=tf([0.07296 1.824],[0.00006 0.000007824 0.0000516 0.0288 0])
Transfer function:
0.07296 s + 1.824
-------------------------------------------------------
6e-005 s^4 + 7.824e-006 s^3 + 5.16e-005 s^2 + 0.0288 s
>> p=zpk('p');w=(24*0.076*(0.04*p+1))/(0.03*p*(0.02*0.01*p^3+0.02*p^2*(0.076*0.04+0.01)+(0.076+0.02)+0.02*p*(0.076+0.01)))
Zero/pole/gain:
12160 (p+25)
----------------------------------
p (p+7.902) (p^2 - 6.598p + 60.74)
На основе нашего zpk объекта вызовем SISO-Design Tool командой Sisotool(w)
>> sisotool(w)
Рисунок 13. Годограф Михайлова.
Передвинем красным курсором по годографу до пересечения с мнимой осью, и определим коэффициент усиления, при котором система находится на границе устойчивости:
Рисунок 14. Пересечение с мнимой осью.
В результате мы нашли коэффициент усиления, при котором наша система находится на границе устойчивости.
В нашем случае он равен 0,00713.
Рисунок 15. Значения полюсов.
Рисунок 16. Пересечение с мнимой осью.
Рисунок 17. Значения полюсов.
Рисунок 18. Пересечение с мнимой осью.
Рисунок 19. Значения полюсов.
На
основе использования метода корневого
годографа мы получили области значений
коэффициента усиления, в которых система
автоматического управления является
устойчивой.
2.4.2 Определение запасов устойчивости.
Изменение параметров (в частности увеличение коэффициентов усиления и запаздываний) в системах автоматического регулирования может вызвать неустойчивость. Поэтому при проектировании систем регулирования стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, так что бы изменение параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости. Для этой цели используются понятия запасов устойчивости систем. Различают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и по фазе. Запасы устойчивости наиболее удобно определять используя логарифмические частотные характеристики.
Найти их можно c помощью команды bode(w)
>> bode(w)
Рисунок 20. Диаграмма Боде
Чтобы построить переходную характеристику воспользуемся командой step(w).Результат ее выполнения приведен на рисунке ниже.
>> step(w)
Рисунок 21. Переходная характеристика.
2.5 Выявление систематических ошибок
Определим передаточную функция замкнутой системы по ошибке от управления:
(2.11)
Определим передаточную функция замкнутой системы по ошибке от возмущения. Она вычисляется по формуле Фfε(Р)=-Фf(Р),
где Фf(Р) – передаточная функция замкнутой системы по возмущению:
(2.12)
Для определения точности воспользуемся методом систематических ошибок. Так как воздействие по каналу управления и возмущения постоянны, для определения величины ε(t) в установившемся режиме необходимо определить коэффициенты статических ошибок по этим каналам, на основании передаточных функций ошибок, необходимо найти лишь первые коэффициенты ошибок согласно выражений:
Со=Фε(Р)|S=0
Сof=Фfε(P)|S=0
Для этого приравняем р=0, в выражениях Фε(Р) и Фfε. Так как числитель этих выражений имеет множитель в виде р, то соответственно и коэффициенты ошибок Со=0; Сof=0, а соответственно ошибка:
εуст(t)=СоX(t)+C оf*f(t)=0
Другими словами САУ не имеет ошибки в установившемся режиме.